Первообразная. Неопределенный интеграл

ТЕМА 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение 5.1. Первообразной функцией F (x) для функции f (x) называется функция, производная которой равна исходной функции.

(F (x))' = f (x).

Теорема 5.1 (теорема Коши). Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Пример 5.1. Функция F (x)= x ³ является первообразной функции f (x)=3 x ² так как (x ³) ' =3 x ². Функции F ₁(x)= x ³+3 и F ₂(x)= x ³-2 также являются первообразными функции f (x). Любая функция вида F (x)= x ³+ с, где с — произвольное число, является первообразной функции f (x).

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Верно и обратное утверждение.

Теорема 5.2. Если F ₁(x) и F ₂(x) — две первообразные для функции f (x), то они отличаются на постоянное слагаемое.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Ф (х)= F ₁(x)- F ₂(x).

Ф' (х)= F ₁ ' (x)- F ₂ ' (x)= f (x)- f (x)=0,

Ф (х)= C,

F ₁(x)= F ₂(x)+ C.

Определение 5.2. Совокупность всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

где f (x)именуется подынтегральной функцией, выражение f (x) dx ¾ подынтегральным выражением.

Если F (x) ¾ некоторая первообразная данной функции, то

где C ¾ произвольная постоянная.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.

Первообразные имеют следующий геометрический смысл.

Пусть F ₁(x) и F ₂(x) ¾ первообразные функции y = f (x). Найдем их производные в точке х ₀.

Следовательно, и сами графики будут располагаться параллельно (рис. 5.1).

На основании теоремы 5.2 F ₁(x) и F ₂(x) отличаются на постоянное слагаемое, следовательно, один график можно получить из другого сдвигом на C единиц вдоль оси ОY.

F ₁(x) = F ₂(x) + C.

Рис. 5.1

Функция имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Графики всех первообразных представляют собой бесконечное семейство параллельных кривых.