Свойства неопределенного интеграла

Теорема 5.3. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Доказательство. Пусть функция f (x) имеет первообразную F (x), тогда

Найдем производную и дифференциал от обеих частей равенства.

,

Теорема 5.4. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство.

Из теорем 5.3 и 5.4 следует, что операции дифференцирования и интегрированияявляются взаимообратными.

Теорема 5.5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 5.6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Таблица основных неопределенных интегралов

Теорема 5.7. Пусть функция u =φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х ¾ множество значений этой функции, на котором определена функция f (x). Функция у = f (x) имеет первообразную F (x)на множестве Х и

Тогда

Из теоремы следует, что в любом табличном интеграле можно заменить аргумент дифференцируемой функцией.

Эти формулы легко доказываются дифференцированием правой части.