Метод «подведения» под знак дифференциала

Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом «подведения» подынтегральной функции под знак дифференциала («внесения» под знак дифференциала).

По определению дифференциала имеем

j ' (x) dx = d (j(x))

Переход от левой части этого равенства к правой называют подведением множителя j ' (x) под знак дифференциала.

Пусть требуется найти интеграл

При интегрировании методом «подведения» под знак дифференциала следует помнить свойства дифференциала.

Пример 5.5. Найти интегралы

Решение

Замечание. Легко заметить, что если

Вывод: если под знаком интеграла в числителе дроби стоит дифференциал знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя. Формулу (4.10) целесообразно внести в таблицу интегралов.

(4.10)

Пример 5.6. Найти интегралы

Решение

Для решения воспользуемся формулой (4.10).