Касательная к графику функции.

С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке х₀ функции f вблизи х₀ практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей l, проходящей через точки (х₀; f (х₀)) и (х₀+Δx; f (x₀ + Δx)). Любая из таких секущих проходит через точку А (х₀; f (х₀)) графика (рис. 1). Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку A, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент Δy/Δx секущей при Δх→0 стремится к числу f ‘(x₀) (его мы примем за угловой коэффициент касательной) Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх→0.

Если же f’(х₀) не существует, то касательная либо не существует (как у функции у = |x| в точке (0; 0), см. рис.), либо вертикальна (как у графика функции в точке (0; 0), рис.2).

Итак, существование производной функции f в точке хо эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х₀, f (х₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f' (х₀). В этом состоит геометрический смысл производной