Эксперимента при моделировании процессов тепломассообмена

Главной особенностью экспериментальных исследований процессов тепломассообмена является то, что для обобщенного представления полученных результатов принято использовать безразмерные аппроксимирующие функции, называемые критериальными уравнениями.

Независимыми переменными (факторами) в математических моделях таких процессов, как правило, служат соответствующие критерии подобия, подробно рассмотренные в разделе 1.2.

Кроме того, исследуемые критериальные зависимости в большинстве случаев имеют нелинейный характер. Чаще всего такие зависимости хорошо описываются степенными функциями, которые, как показано выше, хорошо линеаризуются в результате операции логарифмирования.

Все это определяет специфику планирования и обработки результатов теплотехнического эксперимента.

Общие требования к плану эксперимента. Критерии

оптимальности планов

Под планом эксперимента понимается совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Поэтому формальная процедура планирования любого эксперимента (при известном количестве независимых управляющих факторов) заключается в выборе требуемого количества строк в матрице плана и заполнении этих строк необходимыми данными, определяющими конкретные условия и последовательность выполнения опытов. Однако следует понимать, что как выбор количества строк, так и процедура их заполнения не могут

осуществляться произвольным образом. Для повышения эффективности экспериментальных исследований (то есть достижения максимальной предсказательной точности математической модели с одновременной минимизацией дисперсии экспериментально получаемых выборочных

оценок коэффициентов регрессии при минимальных затратах сил и средств) следует соблюдать ряд общих требований к плану подготавливаемого эксперимента.

Основные требования, связанные с повышением эффективности эксперимента, строго формализованы. Они устанавливаются и контролируются при помощи целого ряда специальных критериев оптимальности планов. По своему назначению все эти критерии условно подразделяются на три основные группы: критерии оптимальности для повышения точности оценок коэффициентов регрессии; критерии оптимальности для улучшения предсказательных свойств модели и критерии оптимальности планов для минимизации трудозатрат.

Подробнее описано в Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский. – М.: Наука, 1976.– 279 с.

IV. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПОИСКЕ

ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

Процесс выявления параметров или условий, способствующих достижению наилучшего результата, называется оптимизацией. При оптимизации параметров какого-либо объекта или процесса прежде всего формулируется конкретная цель исследования и выбирается соответствующий количественный показатель, по которому можно объективно сравнивать результаты и судить о достижении поставленной цели. Такой показатель называется критерием оптимизации. В качестве критерия оптимизации, как правило, выбирается такой обобщенный показатель, который однозначно отражает результирующую эффективность оптимизируемого объекта или процесса в целом. Например, энергетический или эксергетический КПД; выход полезного продукта; удельные энергозатраты в расчете на единицу выпускаемой продукции; производительность установки; интегральный экономический эффект; дисконтированные затраты; интегральный показатель качества сложных технических объектов. Любой критерий оптимизации Y является откликом, реагирующим на изменение ряда управляющих параметров (факторов х 1, х2,… хn), называемых параметрами оптимизации.

В том случае, если известна целевая функция или получена адекватная математическая модель целевой функции (для той области факторного пространства, в которой расположен экстремум), задача оптимизации может быть решена аналитическим или численным методом. При этом используют хорошо известное из математического анализа условие о том, что экстремум функции нескольких переменных имеет место в такой точке факторного пространства, в которой частные производные по каждому аргументу принимают нулевые значения. Кроме того, по знаку вторых производных определяют, является ли этот экстремум минимумом или максимумом. Если вторые производные целевой функции в точке экстремума положительны, то экстремум является минимумом, а если отрицательны – максимумом. Однако в большинстве случаев исследовательской практики математическая модель функции отклика не известна, а значит, поиск области экстремума возможен только экспериментальным путем. Эксперимент, задачей которого является поиск условий достижения экстремума целевой функции (то есть оптимальных условий), называется экстремальным.

Основными методами поисковой оптимизации являются: метод Гаусса-Зайделя, метод градиентного подъема (спуска), метод Кифера-Вольфовица, метод крутого восхождения Бокса-Уилсона и симплексный метод планирования экстремальных экспериментов.