Тема 4. Бюджетное ограничение. Оптимальный выбор потребителя и функции индивидуального спроса

Задача 1.

Предположим, что стипендия Джона Смита составляет 40 долларов в неделю и все эти деньги он расходует только на два блага – обеды в студенческой столовой и рок концерты. Предположим также, что цена одного обеда составляет 4 доллара, а билет на посещение рок концерта стоит 10 долларов.

а) Напишите уравнение бюджетного ограничения для Джона Смита. Нарисуйте также бюджетную линию, откладывая на оси абсцисс количество посещаемых рок концертов, а на оси ординат количество съедаемых обедов. При этом абстрагируйтесь от того, что в данном случае мы имеем дело с дискретными величинами.

б) Каков экономический смысл точек пересечения бюджетной линии с осями координат? Какое количество обедов может потребить Джон Смит, если откажется от посещения одного рок концерта? Каков экономический смысл наклона бюджетной линии?

в) Предположим, что Джону Смиту сократили стипендию до 20 долларов в неделю. Как в результате этого изменится положение бюджетной линии? Как сокращение стипендии повлияет на количество обедов и билетов, которые может купить Джон Смит?

г) Предположим, что цена на обеды в студенческой столовой уменьшилась и составляет теперь 2 доллара за обед. Как в результате этого изменится положение бюджетной линии? Какова будет теперь рыночная норма обмена?

Задача 2.

Предположим, что пенсия среднего пенсионера составляет I д.е. в месяц, а бюджетная линия для этого пенсионера представлена на графике в соответствующих координатах отрезком IN.

а) Предположим, что мэрия Москвы выдает московским пенсионерам дополнительную денежную субсидию в размере F д.е. в месяц, где F < I. Учитывая данное обстоятельство, нарисуйте новую бюджетную линию для среднего московского пенсионера.

б) Теперь предположим, что вместо денежной субсидии мэрия Москвы выдает московским пенсионерам продовольственные талоны (талоны на бесплатное приобретение продуктов питания) на сумму F д.е. в месяц, где F < I. Как в этом случае будет выглядеть бюджетная линия для среднего московского пенсионера?

в) Используя построенные вами графики, проанализируйте, какая из экономических программ Московской мэрии была бы более предпочтительна для пенсионеров. Возможна ли ситуация, когда пенсионеру будет безразлично, та или иная программа реализуется в данный момент?

I Расходы на прочие товары (д.е. в месяц)

N

Количество продуктов питания за месяц

Задача 3.

Пусть предпочтения потребителя относительно двух благ из его товарного набора описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:

U (х₁, х₂) = κ ∙ х₁^α ∙ х₂^β

Где: κ, α, β = const и κ, α, β > 0; х₁ – количество первого блага, х₂ – количество второго блага.

Пусть p₁ – цена первого блага, p₂ – цена второго блага, I – доход потребителя за определенный период времени. Пусть потребитель весь свой доход тратит только на покупку этих двух благ.

а) Выведите функции спроса данного потребителя на первое и на второе благо.

б) Охарактеризуйте выведенные функции спроса: как спрос потребителя на каждое из благ зависит от цены данного блага, от дохода потребителя, а также от цены другого блага из товарного набора?

в) Каков экономический смысл степенных коэффициентов (α и β) в функции полезности Кобба-Дугласа?

г) Покажите, что полученные вами функции спроса являются однородными нулевой степени по ценам и доходу. Дайте экономическую интерпретацию этому математическому факту.

Задача 4.

Предположим, что предпочтения некоторого потребителя описываются функцией полезности следующего вида:

U (х₁, х₂) = √х₁² + х₂² ,

где: х₁ – количество первого блага в потребительском наборе, х₂ – количество второго блага в этом же наборе, х₁, х₂ ≥ 0

Пусть цена первого блага равна 3 д.е., цена второго блага равна 4 д.е., а доход потребителя составляет 50 д.е. в неделю. Допустим также, что потребитель весь доход расходует только на покупку этих двух благ. Какое количество первого и второго блага следует покупать нашему потребителю, чтобы достичь максимального уровня полезности?

Задача 5.

Предположим, что предпочтения некоторого потребителя описываются функцией полезности U (х₁, х₂) = α ∙ х₁ + β ∙ х₂, где α, β = const и α > 0, β > 0, х₁ – количество первого блага, х₂ – количество второго блага.

Пусть бюджетное ограничение потребителя имеет вид:

p₁ х₁ + p₂ х₂ = I,

где: p₁ – цена первого блага, p₂ – цена второго блага, I – доход потребителя.

Определите функции спроса данного потребителя на первое и на второе благо.

Задача 6.

Кривая безразличия задается формулой:

y = 5· (х – 14)² при 0 ≤ х ≤ 14.

Потребитель максимизирует полезность, потребляя товарный набор (х, y) при х = 12 единицам в день. Во сколько раз товар х дороже товара y?

Задача 7.

а) Покажите на графике бюджетную линию для полетов самолетом (километры авиа перелетов за год) и расходов на другие блага для человека, доход которого составляет I д.е.. Нарисуйте эту бюджетную линию при предположении, что после того, как потребитель налетает 200 тысяч километров в течении года, он получает право на 50 тысяч км бесплатных авиа перелетов в виде бесплатного путешествия, дальнейшие перелеты могут быть совершены по первоначальной цене.

б) Обязательно ли такая ценовая политика авиакомпании будет стимулировать пассажиров увеличивать пользование услугами данной авиакомпании? Покажите на графике отсутствие реакции на премию у некоторого потребителя.

в) Покажите на графике реакцию на премию потребителя, который увеличит количество приобретаемых полетов.

Выполните это Задача, предполагая, что отношение предпочтения потребителя между авиа перелетами и расходами на все другие блага обладает свойствами сравнимости, транзитивности, рефлексивности, строгой монотонности и строгой выпуклости и описывается непрерывной функцией полезности.

Задача 8.

Предположим, что господин Иванов потребляет только 3 блага: цветную капусту, мясо и скульптуры. Обозначим количества этих благ соответственно: х₁, х₂, х₃. Пусть функция полезности, соответствующая предпочтениям господина Иванова относительно этих трех благ имеет вид: U(х₁, х₂, х₃) = 5 ln х₁ + 4 ln х₂ + ln (1 + х₁). Пусть цена 1 кг цветной капусты – 1 доллар, цена 1 кг мяса – 2 доллара, цена скульптуры в среднем – 2000 долларов. Годовой доход господина Иванова составляет 9000 долларов. Заметим, однако, что скульптуры являются дискретным благом, т.е. х₃ = 0, 1, 2, 3 и т.д. Нельзя, к примеру, купить только половину скульптуры. Какое количество каждого из трех благ следует купить господину Иванову, чтобы максимизировать полезность от их потребления при полном расходовании своего денежного дохода на эти блага?

Задача 9.

Предпочтения некоторого потребителя описываются функцией полезности

U (х₁, х₂) = aх₁ + bх₂, где: а, b = const и а, b > 0,

х₁ – количество первого блага, х₂ – количество второго блага и х₁, х₂ ≥ 0.

Пусть p₁ – цена первого блага, p₂ – цена второго блага, I – доход потребителя за определенный период. Весь свой доход потребитель тратит только на покупку этих двух благ.

а) Каков экономический смысл коэффициентов а и b в данной функции полезности?

б) Выведите функции спроса данного потребителя на первое и второе благо.

в) Охарактеризуйте выведенные функции спроса: как спрос потребителя на каждое благо зависит от цены данного блага, от дохода потребителя, а также от цены другого блага?

Задача 10.

Предположим, что предпочтения некоторого потребителя описываются функцией полезности следующего вида:

U (х₁, х₂) = min {aх₁, bх₂}, где а, b = const и а, b > 0, х₁ – количество первого блага в товарном наборе, х₂ – количество второго блага в товарном наборе и х₁, х₂ > 0. Пусть p₁ – цена первого блага, p₂ – цена второго блага, I – доход потребителя за определенный период. Пусть потребитель весь свой доход тратит только на покупку этих двух благ.

а) Каков экономический смысл данной функции полезности, т.е. предпочтения какого вида она представляет?

б) Чему равна предельная норма замещения одного блага другим в данном случае?

в) Выведите функции спроса данного потребителя на первое и второе благо.

г) Охарактеризуйте выведенные функции спроса: как спрос потребителя на каждое из благ зависит от цены данного блага, от дохода потребителя, а также от цены другого блага из товарного набора?

д) Каков экономический смысл коэффициентов (а и b)

в данной функции полезности?