Тема 9. Элементы теории игр. Модели стратегического поведения.

Задача 1.

Свидание. Маша и Витя договорились встретиться на станции метро Театральная у первого вагона из центра. Формализовать игру и найти чистые равновесия Нэша.

Задача 2.

Кошка и мышка. Кошка и мышка могут встретиться либо справа от бочки, стоящей во дворе, либо слева. Формализовать игру. Есть ли в этой игре чистые равновесия Нэша?

Задача 3.

Заклятые друзья. «Между ним <следователем Бернисом> и капитаном Лингардтом давно уже существовала неприязнь… Если бумага, относившаяся к делам Лингардта, попадала в руки Бернису, то Бернис засовывал её так далеко, что потом уже никто не мог её найти. Лингардт то же самое делал с бумагами, относящимися к делам Берниса. Точно также пропадали и приложения к делам. (Дело Швейка было найдено в архиве военно-полевого суда только после переворота со следующей пометкой: «Намеревался сбросить маску лицемерия и открыто выступить против особы нашего государя и нашего государства»). Очевидно, что если оба следователя не работают, то их результаты одинаковы, и никого из них не отправят на фронт. Если они работают хорошо, то их опять же не отправят на фронт. Формализовать игру и найти чистые равновесия Нэша. Похожа ли эта игра на дилемму заключённых? (По роману Я. Гашека «Похождения бравого солдата Швейка»).

Задача 4.

Искушение. Идут как-то Василий Иванович и Петька по городу, а навстречу им старик Хоттабыч: «О, достойнейшие, у меня к вам есть подношение», — и достаёт литровую бутыль.— «Напишите на листочках бумажки, сколько граммов Напитка вы хотите вкусить, и полýчите. Но с одним условием: если в сумме окажется больше литра, то я накажу вас за жадность, и вы не получите ничего». Найти решение по Нэшу.

Задача 5.

Аукцион печенья. Каждый из n участников игры пишет на листке бумаги своё имя и количество печенья, которое он хотел бы получить. Все заявки упорядочиваются по возрастанию, и затем ведущий даёт каждому запрошенное количество печенья, начиная с самых скромных. Если печенье кончается, то заявки остаются неисполненными. Если заявки кончаются, то лишнее печенье съедает ведущий.

а) Найти все симметричные равновесия в чистых стратегиях.

б) Есть ли в этой игре несимметричные чистые равновесия? Если есть, приведите пример, если нет, объясните, почему.

Задача 6.

Найма на работу. У каждой из двух фирм есть по одной вакансии на однотипную работу. Предположим, что они предлагают разную зарплату: фирма i предлагает зарплату w_i, причём (1/2) w₁< w₂ < 2 w₁ .

Предположим, что есть два рабочих, которые могут одновременно подать заявку, причём только в одну фирму. Если они подали заявки в одну и ту же фирму, то кто-то один из них (по жребию) получает работу, а другой остаётся без работы. Матрица платежей представлена в таблице. Найдите равновесия Нэша в этой игре.

Задача 7.

Катание на лыжах. Двое бегут по лыжне навстречу друг другу. У каждого три стратегии: уступить всю лыжню, половину лыжни или не уступать. Уступивший лыжню теряет 2 секунды, пол-лыжни — 1 секунду, а при столкновении распутываются 10 секунд. Найти чистые равновесия Нэша. Что можно сказать об их эффективности?