Тема 1. Производственная функция

Упражнения и задачи

1.1 Ниже приведены данные о ситуации на рынке товара А.

Изобразите графически спрос и предложение товара А.

а) Определите рыночную ситуацию при цене 8 д.е. за единицу товара А. Найдите объем излишков (дефицита) товара А.

б) Определите рыночную ситуацию при условии, что цена увеличилась до 32 д.е. за единицу товара А. Найдите объем излишков (дефицита).

в) Определите координаты точки равновесия на рынке товара А.

1.2.Дана функция спроса на некоторый товар: Qd = 8-0,5P. При какой цене коэффициент прямой эластичности спроса по цене равен -0,5?

1.3.В результате повышения цены товара с 5 д.е. до 6 д.е. объем спроса сократился с 9 млн.шт. до 7 млн.шт. в год. Общий уровень цен остался неизменным. Определите коэффициент прямой эластичности спроса по цене.

1.4. Предположим, что на рынке картофеля кривая предложения картофеля вертикальна: Od = 1000 т. при каждом уровне цены. Кривая спроса является падающей. Начальная цена составляет 120 д.е. за тонну. В результате потерь урожая предложение уменьшилось на 10%. Насколько должна увеличиться цена для восстановления рыночного равновесия, если эластичность спроса при первоначальной равновесной цене составляет -0,5?

1.5.Используйте данные приводимой ниже таблицы для расчета эластичности спроса по цене на товар 1 и перекрестной эластичности по цене на товар 1 с учетом цены товара 2. Являются ли товары 1 и 2 взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми?

1.6. Билеты в кинотеатр продаются по 4 д.е. и при данной цене кинотеатр обычно посещает 200 человек в день, 100 мест при этом пустует. У управляющего кинотеатром есть веские причины полагать, что спрос на билеты высокоэластичен с показателем эластичности, равным -4. Насколько возрастет объем спроса при снижении цены с 4 д.е. до 3,5 д.е.? Что произойдет с общей суммой дохода?

1.7. Равновесная цена меди на мировом рынке составляет 0,75 д.е. за фунт. Ежегодно продается 750 млн. фунтов меди. Ценовая эластичность спроса на медь равна -0,4. Найдите линейную функцию спроса на медь.

1.8. Радиоэлектронная фирма разработала новый усилитель, который значительно улучшает качество записанного звука, и стремится продать новшество. Минимальная цена, за которую может быть продан прибор - 6000 д.е. Предполагая, что максимальная цена, которую любой покупатель заплатил бы за эту новинку - 5000 д.е., нарисуйте кривые спроса и предложения. Каков равновесный объем товара? Что может улучшить рыночные перспективы устройства?

1.9. Дана функция спроса на товар X:Qd = 8 - Px + 0,2Py,

где Px, Py - цены товаров X и Y.

Допустим, Рх = 4, Py = 5. Определите коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса по цене.

1.10. Эластичность спроса по цене равна -2. Как изменится объем спроса на товар при снижении его цены с 30 до 20 тыс. д.е.?

1.11. Если эластичность спроса на зерно равна -0,4, а спрос претерпевает изменения, то как изменится цена на зерно при увеличении объема продаж на 12%?

1.12. Фирма может предложить дополнительно 800 пар лыж. В конце зимы их сбыт будет невозможен, хранение лыж также неприемлемо. По оценке маркетингового отдела фирмы, ни одна пара лыж не может быть реализована по цене выше 60 тыс. д.е. Если же все лыжи отдать бесплатно, то можно сбыть 1200 пар лыж. Постройте кривые спроса и предложения, полагая, что кривая спроса носит линейных характер. Определите равновесные значения цены и количества проданных лыж.

1.13. Эластичность спроса населения на данный товар по цене равняется -0,25, по доходу 0,8. на сколько изменится объем спроса на данный товар, если его цена уменьшится на 8%, а доход увеличится на 5% (при неизменном уровне цен).

1.14. Кривая спроса на товар имеет постоянную единичную эластичность по цене. Используйте прямую, касательную к кривой спроса в точке А, чтобы определить, каков будет спрос на товар при цене 10 д.е. См. рис.

Р

0 140 Q

1.15. Имея исключительные права на библиотеку видео-клипов, прежний владелец планирует продеть видео-клипы, получив максимальный доход от продажи. Кривая спроса на эти записи Q = 700 - 35P. Какую цену он должен установить?

1.16. Эластичность спроса на продовольствие по доходу равна 0,8. Первоначально 50% своих доходов население расходовало на продовольствие. Предположим, доходы населения увеличились на 10%. Определите долю расходов на продовольствие в доходах населения.

1.17. Спрос и предложение некоторого товара заданы уравнениями: Qd = 600 - 100P, Os = 150 + 50P. Государство установило налог с продажи на единицу товара в размере 1,5 д.е. Найдите, что потеряют при этом покупатели, а что - продавцы данного товара. покажите на графике.

1.18. Спрос и предложение товара описываются уравнениями: Qd = 2500 - 200P, Qs = 1000 + 100P. Государство установило на данный товар фиксированную цену P_f = 3. Найдите параметры равновесия на рынке до вмешательства государства и последствия такого решения государства. Покажите на графике.

1.19. Функции спроса и предложения данного товара заданы уравнениями: Qd = 9 - P, Qs = -6 + 2P. Предположим, что на данный товар введен налог с единицы товара в размере 25%, уплачиваемый покупателем. Определите равновесную цену и равновесный объем продаж до и после введения налога.

1.20. Спрос на билеты в театр, вмещающий по крайней мере 5000 зрителей, описывается уравнением P = 200 - 0,04Qd. Ответьте на следующие вопросы:

а) При отсутствии любых количественных ограничений какую цену могут назначить организаторы, чтобы доход был максимальным?

б) Если количество мест только 2000 и театр не переполнен, какая цена максимизирует доход от продажи билетов? Чему равен общий доход при этой цене?

в) Если количество мест больше 2500, будет ли общий доход максимален при назначении цены, соответствующей вместимости театра, или общий доход будет выше, если назначить цену, которая не позволит продать все билеты?

Тесты

1. Закон спроса предполагает, что:

а). Превышение предложения над спросом вызовет снижение цены

б) Если доходы у потребителей растут, они обычно покупают больше товаров

в) Кривая спроса обычно имеет отрицательный наклон

г) Когда цена товара падает, объем планируемых покупок растет

2. Чем можно объяснить сдвиг кривой спроса на товар Х?

а) Предложение товара Х по некоторой причине уменьшилось

б) Цена товара Х выросла, и как следствие этого потребители решили покупать меньше этого товара

в) Вкусы потребителей вызвали интерес к товару Х, и поэтому они хотят покупать его по любой данной цене больше, чем раньше.

г) Цена товара Х упала, поэтому потребители решили покупать его больше, чем раньше

3. Рост цен на материалы, необходимые для производства товара Х вызовет:

а) Сдвиг кривой спроса вверх-вправо;

б) Сдвиг кривой предложения вверх-влево;

в) Сдвиг кривой спроса и кривой предложения вверх;

г) Сдвиг кривой предложения вниз-вправо.

4. Изменение какого фактора не вызывает сдвига кривой спроса?

а). Вкусов и предпочтений потребителя

б) размера или распределения национального дохода

в) Цены товара

г) Численности или возраста потребителей

5. Совершенствование технологий сдвигает:

а) Кривую спроса вверх и вправо

б) Кривую спроса вниз и влево

в) Кривую предложения вниз и вправо

г) Кривую предложения вверх и влево

6. Какие из ниже перечисленных изменений не могут быть охарактеризованы перемещением точки рыночной конъюнктуры из положения А в положение Б?

А. Улучшение технологии изготовления данного товара

Б. Снижение цены сырья, используемого при производстве данного товара

В. Рост доходов потребителей данного товара

Г. Увеличение объема закупок данного товара

P

0 Q

Задания 7 - 9 тоже относятся к следующему графику:

7. Перемещение от точки Б к точке А может быть связано с:

А. Снижением величины спроса

Б. Сокращением спроса

В. Ростом объема предложения

Г. Повышением доходов

8. Движение от точки Б к точке В может быть названо:

А. Ростом величины предложения

Б. Увеличением объема спроса

В. Возрастанием спроса

Г. Ничего из указанного не подходит

9. Перемещение от точки Б к точке В может быть вызвано:

А. Изменением цены одного товара

Б. Сдвигом предложения данного товара

В. Изменением цены товара, связанного с данным в потреблении

Г. Изменением цены используемых в производстве ресурсов

10. Если рыночная цена ниже равновесной, то:

А. Появляется избыток товаров

Б. Возникает дефицит товаров

В. Формируется рынок покупателей

Г. Падает цена ресурсов

11. Вполне вероятно, что причиной падения рыночной цены на продукт является:

А. Рост налогов на частное предпринимательство

Б. Рост потребительских доходов

В. Падение цены на производственные ресурсы

Г. Падение цены на взаимодополняющий товар

12. Что может вызвать падение спроса на товар Х?

А. Уменьшение доходов потребителей

Б. Увеличение цены на товары-заменители товара Х

В. Ожидание роста цен на товар Х

Г. Падение предложения товара Х

13. Если два товара взаимозаменяемы, то рост цены на первый товар вызовет:

А. Падение спроса на второй товар

Б. Рост спроса на второй товар

В. Увеличение объема спроса на второй товар

Г. Падение величины спроса на второй товар

14. Если спрос сократится, а предложение возрастет, то:

А. Равновесное количество снизится

Б. Равновесная цена уменьшится

В. А+Б

Г. Не верно А+Б

15. При прочих равных условиях рост предложения приведет:

А. К росту равновесной цены и количества

Б. К снижению цены равновесия и равновесного объема

В. К росту цены и снижению количества

Г. К снижению цены и росту физического объема продаж

16. Во второй половине 70-х годов потребление кофе на душу населения в Западной Европе упало, а его цена удвоилась. Это можно объяснить тем, что:

А. Спрос на кофе вырос.

Б. Одновременно выросли спрос на кофе и его предложение.

В. Кривая предложения кофе является вертикальной.

Г. Предложение кофе понизилось.

17. Пирожки заменяют булочки в потреблении, а масло дополняет. Что произойдет на соответствующих рынках, если цена булочек понизится?

А. Цены пирожков и масла снизятся.

Б. Цена пирожков возрастет, а цена масла понизится.

В. Цена пирожков упадет, а цена масла повысится.

Г. Цены пирожков и масла вырастут.

18. Ценовая эластичность спроса будет выше:

А. На товары первой необходимости, чем на предметы роскоши.

Б. В тех случаях, когда потребитель использует данный товар с наибольшей пользой для себя.

В. Чем менее необходим товар потребителю

Г. Ни в одном из перечисленных случаев

19. Сокращение предложения товара ведет к сокращению:

А. Спроса на взаимодополняемые товары.

Б. Общей выручки продавца, если спрос не товар является эластичным по цене.

В. Общей выручки продавца, если спрос на товар является неэластичным по доходу.

Г. Спроса на товар.

Д. Спроса на взаимодополняемые товары.

20. Если однопроцентное сокращение цены на товар приводит к двухпроцентному увеличению объема спроса на него, то этот спрос:

А. Неэластичный

Б. Эластичный

В. Единичной эластичности

Г. Абсолютно неэластичный

Д. Абсолютно эластичный

21. Какое из следующих утверждений не относится к характеристике эластичности спроса на товар?

А. Коэффициент ценовой эластичности меньше единицы

Б. Общая выручка продавцов сокращается, если цена растет

В. Покупатели относительно чутко реагируют на изменение цены.

Г. Относительное изменение спроса больше, чем относительное изменение цены

Д. Общая выручка растет, если цена уменьшается

22. Когда перекрестная эластичность спроса на данный товар по цене другого товара равна -2, то такие товары:

А. Являются заменяющими друг друга в потреблении

Б. Являются дополняющими друг друга в потреблении

В. Являются независимыми друг от друга в потреблении

Г. Имеющейся информации недостаточно

23. Какое из следующих утверждений не относится к характеристике неэластичного спроса на товар?

А. Имеется большое число товаров-заменителей

Б. Покупатели расходуют на его покупку незначительную долю своего дохода

В. Данный товар является для потребителя товаром первой необходимости

Г. Относительное изменение объема спроса меньше, чем относительное изменение цены

24. Если уменьшение цены на 5% приводит к снижению объема предложения на 8%, то данное предложение:

А. Неэластично

Б. Единичной эластичности

В. Эластично

Г. Абсолютно эластично

Д. Абсолютно неэластично

25. Если предложение товара неэластично, а спрос на него сокращается, то общая выручка продавца:

А. Растет

Б. Сокращается

В. Сокращается в том случае, если спрос является эластичным

Г. Остается неизменной

26. Эластичность предложения зависит главным образом от:

А.Числа товаров-заменителей данного продукта

Б. Периода времени, в течение которого продавцы могут приспособиться к изменениям цен

В. Того, является ли данный товар предметом первой необходимости или роскоши

Г. Того, относится ли данный товар к предметам длительного пользования или текущего потребления

Д. Доли дохода потребителя, направляемой на покупку данного товара

27. Коэффициент ценовой эластичности спроса равен:

А. Уменьшению цены, деленному на увеличение объема спроса

Б. Изменению общей выручки (в %), деленному на увеличение объема спроса (%)

В. Уменьшению общей выручки (в %), деленному на увеличение цены (в %)

Г. Изменению объема спроса (в %), деленному на изменение цены (в %)

Д. Нет верного ответа

28. Кривая абсолютно неэластичного спроса представляет собой:

А. Вертикальную линию

Б. Горизонтальную линию

В. Кривую линию

Г. Прямую линию с отрицательным наклоном

Д. Кривую линию с положительным наклоном

29. В случае, если, несмотря на изменение цены товара, общая выручка не изменяется, коэффициент ценовой эластичности:

А. Больше 1

Б. Меньше 1

В. Равен 0

Г. Равен 1

Д. Равен бесконечности

30. Неэластичный спрос означает, что:

А. Рост цены на 1% приводит к сокращению величины спроса менее, чем на 1 %.

Б. Рост цены на 1% приводит к сокращению величины спроса более, чем на 1 %.

В. Любое изменение цены не приводит к изменению общей выручки

Г. Рост цены на 1% не влияет на величину спроса

Д. Нет верного утверждения

31. Если любое количество товара продается по одинаковой цене, то спрос на этот товар является:

А. Абсолютно неэластичным

Б. Абсолютно эластичным

В. Эластичным

Г. Неэластичным

Д. Спросом единичной эластичности

32. Сравните ценовую эластичность спроса в т.А на кривой спроса D1 с ценовой эластичностью спроса в т.В на кривой спроса D2, как показано на рис. Если обе касательные параллельны, то какое утверждение является верным?

А. Ценовая эластичность в т.А больше, чем в т.В

Б. Ценовая эластичность в т. А меньше, чем в т.В

В. Ценовая эластичность в т.А равна ценовой эластичности в т.В

Г. Информации недостаточно

Упражнения и задачи

2.1. Объясните, почему кривые безразличия не пересекаются и имеют отрицательный наклон. Могут ли кривые безразличия иметь положительный наклон? Рассмотрите два «блага» - ожидаемый доход от акции и риск, связанный с ожиданием дохода. Объясните ситуацию с помощью графика. Нарисуйте кривые безразличия инвестора для этих двух благ.

2.2. Докажите общее условие равновесия потребителя. С какими особенностями потребительского выбора связано существование углового равновесия?

2.3. Студентка готовится к экзаменам по социологии и экономике. У нее есть время прочесть 40 стр. текста по экономике и 30 стр. текста по социологии. За это же время она могла бы прочесть 30 стр. текста по экономике и 60 стр. текста по социологии.

Предполагая, что число страниц в час, которые она может изучить по обоим предметам, не зависит от распределения времени, определите, сколько страниц по экономике она могла бы прочесть, если все время потратит только на экономику? Сколько страниц текста по социологии она могла бы прочесть, если все время она потратит только на социологию?

2.4. Для некоторого потребителя функция полезности U(x1,x2)=x1*x2. Постройте кривую безразличия, проходящую через точку (3,4), и найдите предельную норму замещения в этой точке.

2.5. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров – x и y. Функция полезности для него имеет вид: U(x,y)=min{4x, 2x+y}. Потребитель покупает 15 ед. товара x и 10 ед. товара y. Цена товара x равна 10 д.е. Найдите доход потребителя. Каков наклон бюджетного ограничения в точке (15,10)?

2.6. Функция полезности некоторого потребителя имеет вид:

,

где: x₁, x₂ - два взаимозаменяемых блага. Обычно потребитель потребляет эти блага в количестве x₁=9, x₂=10. Найдите предельную норму замещения в этой точке. Допустим, потребление первого блага сократилось до 4 ед. Как должно измениться потребление второго блага, чтобы значение функции полезности не изменилось?

2.7. Потребитель имеет функцию полезности вида:

U(x₁, x₂)=(x₁+2)(x₂+6). Напишите уравнение касательной, проходящей через набор потребительских благ x₁=4, x₂=6.

2.8. Функция полезности имеет вид U(x₁, x₂)=min{x₁,3x₂}. Цена блага x1 равна 2, цена блага x2 равна 1. Доход потребителя равен 140. Определите координаты точки равновесия потребителя.

2.9. Некто потребляет два блага – яблоки (Ха) и бананы (Хb). Целевая функция равна U(Xa, Xb)=Xa*Xb, Pa=1, Pb=2, доход равен 40. Может ли значение целевой функции быть равно 150? 300? Обоснуйте свой ответ.

2.10. Задана функция полезности некоторого потребителя U(x₁,x₂)=x₁²*x₂² и цены двух благ – P₁, P₂.

а) Найдите предельную норму замещения этих двух благ в точке (х₁, х₂).

б) какую долю дохода потребитель расходует на первое благо, если он выбирает наилучшее сочетание товаров?

в) Если в общем виде U(x1,x2)=c*x₁^a*x₂^b, где c, a, b – положительные числа, то какую долю дохода потребитель тратит на первый товар.

2.11. У Кати есть выбор: съесть шоколадку или получить денежную компенсацию. Катя очень любит шоколад, но после 4-х шоколадок они превращаются для нее в «антиблаго», т.е. она согласна съесть еще одну шоколадку, если ей за это заплатят. Нарисуйте карту кривых безразличия для Кати.

2.12. Предельная полезность масла для потребителя задана уравнением MU_м=40-5Qм, предельная полезность хлеба MU_х=20-3Qх. Соответственно цена масла Рм=5, цена хлеба Р_х=1. Общий доход равен 20. Найдите равновесное количество хлеба и масла для данного потребителя.

2.13. В набор потребителя входят два товара - пиво и бананы, общая полезность которых характеризуется следующими данными:

Цена кружки пива – 10, цена одного банана – 0,5. Общий доход потребителя, который он тратит на эти два товара, равен 25. Найдите набор товаров в состоянии равновесия потребителя.

2.14. Функция полезности для данного потребителя имеет вид U(x₁,x₂)=4*x₁*x₂, а доход, выделенный им для покупки данных товаров, равен 24. В оптимальный набор вошли 2 ед. первого блага и 3 ед. второго блага. При каких ценах на товары потребитель сделал данный выбор?

2.15. На рис. показана одна из кривых безразличия потребителя и его бюджетная линия. Цена товара Y равна 12.

а) Каков доход потребителя?

б) Какова цена товара Х?

в) Как изменится положение бюджетной линии при увеличении цены товара Y до 15? При снижении до 10?

г) Напишите уравнение бюджетной линии для каждого варианта.

Y

75 X

2.16. Допустим, потребитель имеет месячный доход М=200. на рис. показаны две бюджетные линии и соответствующие им кривые безразличия.

а) Какова цена товара Y?

б) Определите координаты двух точек линии спроса данного потребителя на товар Х?

в) Зависит ли положение данной линии спроса от цены товара Y, от дохода потребителя?

Y

10 20 25 40 X

2.17. Потребитель приобретает товары X и Y. Товар Y продается по цене 2 д.е. за единицу. Товар X продается по цен 10 д.е. за единицу, если объем покупки не превышает 20 единиц, а за каждую следующую (сверх 20) покупатель платит 5 д.е. Пусть доход М=300. Покажите графически бюджетное ограничение при этих условиях. Товары X и Y – нормальные. Укажите наиболее предпочтительный набор.

2.18.Предположим, потребитель выбирает между двумя товарами X и Y. При заданных начальных ценах товаров и доходах потребитель, максимизирующий полезность, делает следующий выбор: X=4, Y=5 ед.

Допустим, цены товаров и доходов изменились таким образом, что бюджетная линия описывается уравнением: Y=14-0,75Х. Увеличилась ли для потребителя максимально достижимая полезность? Объясните ответ графически.

2.19. Проанализируйте график на рис. и ответьте на вопросы:

а) Если доход потребителя равен 300, какова цена товаров X, Y?

б) Чему равна норма замещения в точке А?

в) Может ли предельная норма замещения в точке В равняться 5?

г) Если доход потребителя не меняется, как бы должны измениться цены товаров X, Y, чтобы точка В стала точкой равновесия потребителя?

Y

12 А

В

4 10 Х

2.20.Функция спроса на вино Q=0,02M-2P, где М – доход, Р – цена бутылки вина, Q – количество бутылок вина. Пусть М=7500, Р=30.

а) Если цена вина вырастет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на вино оставался прежним? При этом доходе и новой цене сколько бутылок вина будет куплено?

б) Чему равен эффект замещения и эффект дохода при повышении цены на вино до 40?

2.21. Рассмотрите рис. и ответьте на вопросы:

Y

C

22,5

Е

F

30 35 43 75 90 120 X

а) Если доход М=300, Рх=4, Ру=10, сколько товара Х потребляется при этих условиях?

б) Если цена товара Х упадет до 2,5 (при прочих неизменных условиях), каков будет спрос на товар Х?

в) Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар Х.

г) Каким товаром – нормальным или низшим – является благо Х?

д) Нарисуйте на отдельном графике кривую Энгеля и кривую спроса для товара Х.

Конспектирование

Макконнелл К., Брю С. Экономикс. - М., 1992, 1996.- Т.2, Гл. 24- 26

Упражнения и задачи

3.1. Объясните форму изо-квант.

3.2. Почему предельная норма замещения труда капиталом (MRTS_LK) уменьшается по мере размещения труда капиталом?

3.3. Выведите формулу для MRTS_LK, не прибегая к дифференцированию производственной функции (логически).

3.4. Обоснуйте с помощью закона убывающей предельной производительности вид кривых совокупного, среднего и предельного продуктов переменного фактора.

3.5. Компания, занимающаяся кредитованием под недвижимость, могла бы осуществлять больше операций, если бы увеличила численность персонала. Все другие факторы, необходимые для проведения ссудных операций, остаются неизменными. Если предельный продукт труда составляет 0,5 ссуд в час, а средний продукт труда – 0,7 ссуд в час, как изменится средний продукт труда при увеличении численности персонала?

3.6. Зависит ли средний, предельный и совокупный продукты труда от величины применяемого фирмой капитала? Если да, то каким образом?

3.7. Предположим, что когда фирма увеличивает применяемый капитал со 120 до 150, используемый труд с 500 до 625, выпуск продукции с 200 до 220. Какой эффект роста масштаба производства имеет место в данном случае?

3.8. Предположим, производственная функция Q=F(K,L) характеризуется постоянным эффектом масштаба. Известно, что 8 рабочих могут произвести 56 ед. продукции (в ед. времени) при 36 ед. используемого капитала; 9 рабочих произведут 60 ед. продукции при тех же затратах капитала. Определите предельный продукт капитала.

3.9. Какие факторы могут способствовать увеличивающемуся эффекту роста масштаба производства за долгосрочный период? Уменьшающемуся эффекту?

3.10. Задана производственная функция f(x₁,x₂)=(x₁^a+x₂^b)^b, где x₁,x₂ – используемые производственные факторы, a,b > 0. При каких значениях коэффициентов a и b эффект масштаба будет возрастающим?

3.11. Производственная функция имеет вид Q=5L^0,5*K^0,5, где Q – количество продукции за день, L – часы труда, K – часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин. Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Определите средний продукт труда. Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства.

3.12. В краткосрочном периоде производственная функция фирмы имеет вид: Q=100L+25L²-3L³, где L – число рабочих. При каком числе рабочих начинается сокращение отдачи от масштаба? При каком уровне занятости общий выпуск будет максимальным?

3.13. Фирма, производящая прохладительные напитки, определила, что при данной технологии она получит следующие результаты:

а) Определите максимальный продукт труда при использовании 20 единиц капитала в краткосрочном периоде.

б) Чему равен максимальный средний продукт труда и максимальный предельный продукт, если использование капитала возрастет до 30 единиц?

3.14. Объясните, почему средний продукт труда продолжает увеличиваться после прохождения точки начала уменьшения предельной производительности.

3.15. Докажите, что кривая MPL пересекает кривую APL в точке максимума последней.

3.16. Производственный отдел фабрики оценил, что если нанять дополнительного работника, выпуск увеличится на 25 единиц в день. Общее число занятых в данный момент 100 человек, общий выпуск – 2000 единиц в день. Если предположить, что дополнительный работник стоит фабрике не больше, чем каждый из занятых и весь выпуск может быть продан, наймет ли фабрика этого дополнительного работника? Объясните.

3.17. Обсудите концепцию альтернативных издержек производства. Почему для принятия производственных решений фирме недостаточно знать бухгалтерские издержки?

3.18. Предположим, что фирма решает перенести свою контору в другой город. В прошлом году она приобрела опцион, т.е. заплатила 500 000 долларов за право купить здание в данном городе. Опцион дает право купить здание стоимостью 5 млн. долларов. Допустим, фирма нашла похожее здание за 5 млн.250 тыс. долларов. Какое здание покупать фирме?

3.19. программист П. зарабатывает в час 5000 д.е.. В магазине за говядиной по цене 4000 д.е../кг нужно стоять 1 час. За говядиной по 6000 д.е../кг очереди нет. при каком объеме покупок рационально приобрести более дешевую говядину?

3.20. Каковы составляющие затрат в краткосрочном периоде? Каким образом закон убывающей предельной производительности влияет на вид кривых общих, средних, предельных издержек?

3.21. Объясните различие между долгосрочной кривой затрат и краткосрочной кривой затрат. От каких факторов зависит форма долгосрочной кривой издержек?

3.22. Докажите, что кривая предельных издержек (МС) фирмы пересекает кривую средних переменных издержек (AVC) в точке минимума последней.

3.23. Типография осуществляет производство рекламных плакатов, используя трех работников, средний продукт труда (AP_L) которых равен 25 единицам в день. При этом заработная плата каждого работника составляет 6000 д.е.. в день, а постоянные издержки (FC) равны 10 000 д.е.. Какие средние переменные издержки (AVC) по производству несет типография?

3.24. Выведите формулу равновесия фирмы в краткосрочном периоде, выпускающей заданный объем продукции с минимальными издержками. Почему такое поведение фирмы при выборе факторов производства является устойчивым?

3.25. Общее недовольство профсоюзами в США в последнее время выражалось в том, что фирмы привлекали рабочую силу из-за д.е.ежа для того, чтобы уменьшить высокие затраты на труд в своей стране. Изобразите эту ситуацию на графике (в координатах L и K) с помощью изо-квант и изо-кост и объясните, почему фирмы могут проводить подобную политику.

3.26. Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и парома (K). Производственная функция имеет вид: X=10L^0,5*K^0,5. Заполните таблицу и постройте изо-кванту для Х = 100.

Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Постройте изо-косту. Каков будет ее наклон? Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок? Каковы будут общие издержки? Средние издержки?

Заработная плата увеличилась до 25 денежных единиц в час. Что должна предпринять фирма, чтобы минимизировать свои издержки при том же объеме производства?

Если после увеличения уровня заработной платы фирма может тратить только 400 денежных единиц на K и L, сможет ли она осуществлять 100 перевозок в долгосрочном периоде? обоснуйте свой ответ.

3.27. Функция общих затрат предприятия имеет вид ТС=100+4Q+0,2Q². Найдите TFC, TVC, AC, AFC, AVC. При каком значении Q величина АС достигает минимума?

3.28. Допустим, что при данной технологии фирма может изменять только количество используемого труда, дневная ставка заработной платы P_L=75, предельный продукт труда MP_L=150 ед. в день, средний продукт AP_L=300 ед. Найдите MC и AVC.

3.29. Издержки производства (ТС) 100 штук некоторого товара составляют 300 тыс. д.е., а 500 штук – 600 тыс. д.е.. Считая функцию издержек линейной, определите величину издержек в тыс. д.е.. для выпуска 400 штук.

3.30. Производственная функция имеет вид: Q=LK. Если общий объем затрат не должен превышать 30, цена труда равна 4, цена капитала – 5, то при какой комбинации труда и капитала будет достигнут максимальный выпуск?

3.31. При ставке заработной платы в 20 ден. единиц и цене капитальных затрат равной 50 ден. единиц фирма использует комбинацию факторов производства, при которой МР_L=5, MP_K=10. Является ли данный способ производства оптимальным для фирмы?

3.32. Задана производственная функция фирмы:

f(x₁,x₂)=(Öx₁+3Öx₂)². Цена обоих факторов равна 1. Найдите способ производства 16 единиц продукции с наименьшими затратами.

3.33. Фирма производит латунь – сплав меди и цинка, используемых в определенной пропорции. Дана производственная функция f(x₁, x₂)=min{x₁, 2x₂}, где х₁- количество используемой меди, х₂ – количество цинка, используемого в производстве сплава.

а) Определите эффект масштаба, выражаемый данной производственной функцией.

б) Если цена меди и цинка соответственно Р1 и Р2 и требуется произвести Y единиц готовой продукции, то чему равны минимальные затраты?

Задание №1

(срок сдачи 10.11 - 29.11)

(Обязательные для решения задачи определяются преподавателем, ведущим семинары)

Тема 1. Производственная функция

Задача 1.

В краткосрочном периоде фирма может изменять только количество используемого труда: все остальные факторы производства остаются неизменным по объему. Пусть при затратах труда 8 человеко-часов средний продукт труда (АР_L) составляет 40. Пусть предельный продукт девятой единицы труда (MP_L) равен 60.

а) Определите величину общего продукта при затратах труда (L), равных 9 человеко-часам.

б) Не прибегая к дополнительным расчетам, а лишь используя информацию, данную в условии задачи, ответьте: какова динамика среднего продукта труда при переходе от 8 к 9 человеко-часам затраченного труда (т.е. возрастает, убывает или остается неизменным средний продукт труда)?

Задача 2.

Предположим, что производственная функция, описывающая технологию производства мороженного, имеет вид:

Y = ƒ(x₁, x₂) = 600

,

где: x₁ – количество первого фактора, x₂ – количество второго фактора, используемых в производстве мороженого (x₁, x₂ > 0); Y – количество мороженого, выпускаемого за определенный период времени.

Предположим, что в данный момент времени затраты второго фактора производства являются фиксированными, причем x₂ = 10.

а) Напишите функцию общего продукта (TPx₁). Чему будет равен объем выпуска мороженого при использовании фирмой 10 ед. первого фактора производства?

б) Напишите функцию среднего продукта (АРx₁) и объясните ее экономический смысл. Определите, какое количество первого фактора следует использовать фирме, чтобы средний продукт был максимальным. Найдите максимальное значение среднего продукта.

в) Напишите функцию предельного продукта (МРx₁) и объясните ее экономический смысл. Какое количество первого фактора следует использовать фирме, чтобы достичь максимально возможного объема выпуска? Каково будет это максимальное значение? Чему при этом равен предельный продукт?

г) Какое количество первого фактора следует использовать фирме, чтобы предельный продукт был максимальным. Чему при этом равны предельный и средний продукты? Чему будет равен предельный продукт при затратах первого фактора, максимизирующих значение среднего продукта? Охарактеризуйте взаимосвязь между средним и предельным продуктами переменного фактора производства.

Задача 3.

Эластичность выпуска по затратам i -го фактора производства приближенно показывает, на сколько процентов увеличится объем выпускаемого продукта (y), если затраты i -го фактора производства (x_i) увеличатся на 1% при неизменных затратах остальных факторов производства.

Пусть дана производственная функция:

y = ƒ(x_i, … x_n).

Тогда эластичность выпуска по затратам i -го фактора можно рассчитать по следующей формуле:

, где i = 1, …. n.

В пределе при Δx_i → 0 получаем:

, где i = 1, …. n.

а) Пусть технология производства описывается производственной функцией Кобба-Дугласа: y(x₁, x₂) = A∙ , где A, α, β = const и A, α, β > 0. Определите эластичность выпуска по затратам первого и по затратам второго факторов производства. Объясните экономический смысл степенных коэффициентов (α и β) в функции Кобба-Дугласа.

б) Технология производства некоторого продукта такова, что может быть представлена функцией: Y = α · K + β · L + y, где Y – объем выпуска, K – затраты капитала, L – затраты труда; α, β, y > 0. Определите эластичность выпуска по затратам капитала и по затратам труда.

Задача 4.

Технология производства описывается производственной функцией Кобба-Дугласа: y(x₁, x₂) = , где 0 < α < 1,0 < β < 1; α + β = 1, x₁ – количество первого фактора производства, x₂ – количество второго фактора производства, y – объем выпуска; x₁, x₂, y > 0.

а) Покажите, что предельный продукт каждого из факторов производства является положительной величиной (МР_i > 0 i = 1, 2) и убывает при увеличении затрат данного фактора и неизменном количестве другого фактора.

б) Покажите, что предельная норма технологического замещения второго фактора производства первым (MRTS) зависит только от соотношения этих факторов , а не от их количества, и убывает по мере замещения второго фактора производства первым.

Задача 5.

Производственная функция y = ƒ(x₁, x₂, … x_n), определенная x₁, x₂, … x_n ≥ 0, является однородной степени I, если умножение количества всех факторов производства на параметр масштаба S > 0 приводит к увеличению объема выпуска в S^I раз: ƒ(S·x₁,S· x₂, …S·x_n)=S^I · ƒ(x₁, x₂, … x_n). Покажите, что для однородной производственной функции коэффициент эластичности масштаба равен степени однородности производственной функции, т.е. E = 1.

Задача 6.

Дана производственная функция следующего вида:

y(x₁, x₂,)= ,

где: γ > 0, 0 ≤ δ ≤ 1, p ≤ 1, ε > 0; γ, δ, p, ε – const; x₁ – затраты первого фактора; x₂ – затраты второго фактора (x₁, x₂ ≥ 0), y – объем выпуска.

а) Определите предельный продукт первого фактора и предельный продукт второго фактора производства (МР₁ и МР₂).

б) Определите предельную норму технологического замещения (MRTS) второго фактора производства первым.

В) Покажите, что характер отдачи от масштаба для данной производственной функции зависит только от параметра ε.

Тема 2. Издержки производства

Задача 1.

Год тому назад мистер Х стал владельцем небольшой фирмы по производству керамических изделий. Он нанял одного помощника за 12 тыс. долларов в год и 20 тыс. долларов в год ушло на покупку сырья и материалов. В начале года мистер Х закупил оборудование на сумму 40 тыс. долларов, срок службы которого составляет 8 лет. Для того чтобы финансировать покупку оборудования мистер Х взял в банке кредит на восемь лет под 10% годовых. Мистер Х использует собственное помещение в качестве мастерской. Это помещение он мог бы сдать в аренду и получать за него в виде арендной платы 10 тыс. долларов в год. Конкурент мистера Х предлагает ему рабочее место гончара с оплатой 15 тыс. долларов в год. Суммарный годовой доход от продажи мистером Х керамических изделий составляет 72 тыс. долларов.

Вычислите:

а) величину годовых амортизационных отчислений мистера Х;

б) величину бухгалтерских и экономических издержек мистера Х;

в) величину бухгалтерской и экономической прибыли мистера Х за год.

Задача 2.

Пусть технология производства описывается производственной функцией следующего вида:

,

где – количество первого фактора, – количество второго фактора, y – объем выпуска. Предположим, что цена первого фактора составляет 14 ден. ед. и цена второго фактора составляет 14 ден. ед., а требуемый объем выпуска равен 400 ед. в день.

а) Какое количество первого и второго фактора производства следует купить фирме, чтобы производить 400 ед. продукции в день с минимальными издержками?

б) Какова будет величина этих минимальных издержек?

Задача 3.

Пусть технология производства описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:

,

где: >0; – const. Пусть w₁ – цена первого фактора производства, w₂ – цена второго фактора производства, y – объем выпуска, который фирма желает произвести; w₁, w₂, y = const.

а) Выведите функции условного спроса фирмы на первый и на второй факторы производства.

б) Покажите, что выведенные вами функции условного спроса на факторы производства являются однородными нулевой степени по ценам факторов производства:

где i = 1, 2 >0. Объясните экономический смысл этого факта.

в) Выведите функцию издержек, соответствующую производственной функции Кобба-Дугласа.

г) Покажите, что выведенная нами функция издержек является однородной степени I по ценам факторов производства: C(m · w₁, m · w₂, y) = C (w₁, w₂, y) > 0. Объясните экономический смысл этого факта.

Задача 4.

Пусть технология производства описывается производственной функцией Леонтьева: y(x₁, x₂)=min{ax₁,bx₂}, где a, b = const и a, b > 0.

а) Какого вида технологии описываются при помощи данной производственной функции? Каков экономический смысл коэффициентов a и b? Чему равна предельная норма технологического замещения (MRTS)? Какой отдачей от масштаба характеризуется данная технология?

б) Выведите функцию издержек, соответствующую производственной функции Леонтьева. При этом предположите, что w₁ – цена первого фактора производства, w₂ – цена второго фактора производства, y – требуемый объем выпуска; w₁, w₂, y = const. Покажите, что выведенная вами функция издержек является однородной степени I по ценам факторов производства.

Задача 5.

Пусть технология производства описывается производственной функцией y(x₁, x₂)= x_{1 +} x₂, где x₁, x₂ – затраты факторов производства (x₁, x₂ 0) и y – объем выпуска (y > 0).

а) Какого вида технология представлена данной производственной функцией? Какой отдачей от масштаба характеризуется данная технология? Чему равна предельная норма технологического замещения (MRTS)?

б) Выведите функцию издержек, соответствующую данной производственной функции. При этом предположите, что w₁ – цена первого фактора производства, w₂ – цена второго фактора производства, – требуемый объем выпуска: w₁, w₂, = const. Покажите, что выведенная вами функция издержек является однородной степени I по ценам факторов производства.

Задача 6.

Покажите, что функции общих, средних и предельных издержек в долгосрочном периоде являются однородными степени I по ценам всех факторов производства.

Задача 7.

Технология фирмы описывается производственной функцией , где , x₂ – затраты факторов производства; y – объем выпуска. В краткосрочном периоде количество второго фактора фиксировано и составляет x_{2 =} 100 ед., а его цена w_{2 =} 1 ден. ед. Цена первого фактора, являющегося переменным, w₁ = 4 ден. ед.

а) Напишите функции общих, средних и предельных издержек фирмы в краткосрочном периоде.

б) Предположим, что управляющий фирмой хочет производить 100 ед. продукции в день. Определите величину общих, средних и предельных издержек при тех же условиях.

Задача 8.

Функция издержек фирмы в краткосрочном периоде имеет вид:

C(y) = 4y³ – 4y² + 10y + 100,

где: y – объем выпуска в единицу времени.

а) Определите величину постоянных издержек фирмы и функцию средних постоянных издержек.

б) Напишите функции переменных, средних переменных и предельных издержек фирмы.

в) При каком объеме выпуска средние переменные издержки достигают своего минимального значения? Каково это минимальное значение?

г) Рассчитайте значение предельных издержек при объеме выпуска, минимизирующем средние переменные издержки. Сделайте вывод о взаимосвязи предельных и средних переменных издержек.

Задача 9.

В краткосрочном периоде фирма изменяет только количество используемого труда. Все остальные факторы производства остаются постоянными. При этом ставка заработной платы составляет 5 долларов, предельный продукт труда равен 10, а средний продукт труда равен 15. Определите величину предельных и средних переменных издержек.

Тема 3. Отношения предпочтений, функция полезности

Задача 1.

Используя основные свойства отношений предпочтений, докажите, что кривые безразличия не могут пересекаться.

Задача 2.

Антиблага – это такие предметы потребления, которые, по мнению потребителя, приносят ему вред, т.е. понижают уровень полезности по мере роста их потребления. Поэтому он желает потреблять их как можно в меньшем количестве. Допустим, что пятилетний Вовочка терпеть не может овсяную кашу, которую его родители каждый день заставляют его есть. Таким образом, овсяная каша является для данного потребителя антиблагом. Но наш Вовочка не прост. И он соглашается съесть одну тарелку овсянки только в том случае, если родители выдадут ему за это плитку шоколада, который Вовочка очень любит.

а) Нарисуйте карту кривых безразличия, соответствующую предпочтениям Вовочки, откладывая по оси абсцисс количество плиток шоколада, а по оси ординат – количество порций овсяной каши. Предположите также, что мы имеем дело не с дискретным случаем, т.е. Вовочка может съесть и полтарелки каши, получив в виде компенсации половину шоколадки.

б) Какое свойство кривых безразличия, соответствующее стандартным предпосылкам теории потребительского выбора, не выполняется в данном случае?

в) Придумайте функцию полезности, отражающую предпочтения Вовочки относительно овсяной каши и шоколада.

Задача 3.

Муж и жена Сидоровы употребляют в пищу как мясо, так и рыбу. Однако муж любит мясо больше, чем рыбу, в то время как жена рыбу предпочитает мясу. При этом отношения предпочтений каждого из четы Сидоровых обладают свойствами сравнимости, транзитивности, строгой монотонности и строгой выпуклости. Нарисуйте обе карты кривых безразличия, отражающие вкусы четы Сидоровых, откладывая по оси абсцисс количество мяса, а по оси ординат количество рыбы.

Задача 4.

Предпочтения потребителя описываются функцией полезности следующего вида:

U (х₁, х₂) = (0,7 х₁ + 1,2·х₂) ^1,5,

где: х₁ – количество первого блага в потребительском наборе, х₂ – количество второго блага в этом же наборе, х₁, х₂ ≥ 0

а) Какую форму будут иметь кривые безразличия, соответствующие данной функции полезности? Свой ответ подтвердите соответствующими математическими выкладками.

б) Какие из стандартных свойств кривых безразличия, введенных в анализ в качестве предпосылок, будут выполняться, а какие будут нарушаться в данном случае?

в) Каков экономический смысл данной функции полезности, т.е. какого вида предпочтения отражает данная карта кривых безразличия. Приведите примеры из реальной жизни, иллюстрирующие отношение предпочтения такого вида.

Задача 5.

Родители Вовочки, фигурировавшего в задании 2, имеют особые предпочтения в отношении пива и кока-колы. Папа абсолютно равнодушен к кока-коле, но зато готов выпить сколько угодно пива. Мама же наоборот: обожает кока-колу и совершенно не желает заменять её потребление пивом.

а) Нарисуйте кривые безразличия, отражающие вкусы Вовочкиных родителей, откладывая по оси абсцисс количество пива, а по оси ординат количество кока-колы.

б) Напишите функции полезности, соответствующие предпочтениям данных потребителей относительно пива и кока-колы.

в) Чему равна предельная норма замещения (MRS) кока-колы пивом для Вовочкиной мамы и для Вовочкиного папы.

Задача 6.

Функция полезности, отражающая предпочтения некоторого потребителя, имеет вид:

,

где: х₁ – количество первого блага, х₂ – количество второго блага.

а) Нарисуйте карту кривых безразличия, соответствующую данной функции полезности.

б) Как изменяется предельная норма замещения (MRS) при движении по кривой безразличия?

в) Каков экономический смысл данной функции полезности? Какого вида предпочтения отражает данная карта кривых безразличия? Приведите примеры из реальной жизни, иллюстрирующие отношения предпочтений такого вида.

Задача 7.

Предположим, что школьник Вася одинаково любит «Фанту» и «Спрайт». При этом ему абсолютно всё равно: выпить ли ему некоторое кол-во стаканов «Фанты» или же часть его или всё целиком заменить «Спрайтом».

а) Нарисуйте карту кривых безразличия, отражающую предпочтения Василия, откладывая по оси абсцисс количество выпиваемых стаканов «Фанты», а по оси ординат количество стаканов «Спрайта».

б) Напишите функцию полезности, соответствующую кривым безразличия данного вида. Определите норму замещения (MRS) «Фанты» «Спрайтом» для школьника Васи. Какое из принятых нами в виде предпосылок свойство кривых безразличия здесь не соблюдается.

Задача 8.

Предпочтения некоторого потребителя описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:

U (х₁, х₂) = а ∙ х₁^α ∙ х₂^α ,

Где: а, α, β > 0; х₁, х₂ > 0, х₁ – количество первого блага;х₂ – количество второго блага.

а) Определите предельную полезность, получаемую потребителем от увеличения количества первого блага в товарном наборе при неизменном количестве второго блага, т.е. MU_1.

б) Определите предельную полезность, получаемую потребителем от увеличения количества второго блага в товарном наборе при неизменном количестве первого блага, т.е. MU_2.

в) Определите предельную норму замещения второго блага первым, т.е. MRS.

г) Используя полученную вами информацию, объясните, какими свойствами будут обладать кривые безразличия, соответствующие данной функции полезности.

Задача 9.

Дана функция полезности U (х₁, х₂) = х₁ ∙ х₂ ,

где: х₁, х₂ > 0. Какие из представленных ниже функций V (х₁, х₂) являются положительным монотонным преобразованием функции U (х₁, х₂), а какие таким преобразованием не являются? Объясните, почему.

а) V (х₁, х₂) = х₁ ² ∙ х₂

б) V (х₁, х₂) = х₁⁴ ∙ х₂⁴

в) V (х₁, х₂) = 3х₁ ∙ х₂²

г) V (х₁, х₂) = 4х₁² ∙ х₂² + 25

д) V (х₁, х₂) = х₁ + х₂

е) V (х₁, х₂) = 5 ln х₁ + 5 ln х₂

Задача 10.

Свойства функции полезности U (х₁, х₂), которые сохраняются для любого ее положительного монотонного преобразования, называются ординалистскими. Кардиналистскими свойствами U (х₁, х₂) являются те, которые не сохраняются для любого положительного монотонного преобразования.

а) По определению функции полезности:

, где i = 1, 2.

Покажите, что строгое возрастание функции полезности является ее ординалистским свойством.

б) Докажите, что значение предельной нормы замещения (MRS) инвариантно для любого положительного монотонного преобразования функциями полезности.

в) Докажите, что убывание предельной полезности является кардиналистским свойством функции полезности. Какое условие должно выполняться, чтобы убывание предельной полезности гарантировалось бы при любом положительном монотонном преобразовании функции полезности?