Матричная запись линейных систем

Если ,

то систему линейных уравнений (1.2) можно записать в матричном виде:

где произведение находят по правилу умножения квадратной матрицы на матрицу-столбец .

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса состоит в том, что при помощи элементарных преобразований последовательно исключают ,из всех уравнений системы.

Не нарушая общности, считаем, что .Тогда, исключая из всех нижеприведенных уравнений системы (1.2), получаем:

где

Тем же методом, начиная со второго уравнения системы, исключаем всех нижеприведенных уравнений:

где

Этот процесс продолжают до тех пор, пока исходная система не примет вид

… … … …. …

… …

где .

Если в последней системе r=m,то уравнений вида

в этой системе не будет.

Может оказаться,что . Тогда либо , либо хотя бы одно из чисел , не равно нулю.

Последнюю систему называют ступенчатой, неизвестные

с которых начинаются первые r уравнений системы,- главными, а остальные неизвестные- свободными.

Замечание 1. Аналогично определению элементарных преобразований линейной алгебраической системы можно установить элементарные преобразования матрицы:

После второго шага матрица примет вид:

4.Продолжая подобные преобразования, придем к одному из двух случаев:

а)либо в ходе преобразований получится хотя бы одно из уравнений вида

и тогда данная система несовместна;

б)либо придем к матрице вида:

Возможное уменьшение числа строк связано с тем, что в процессе преобразований матрицы вычеркиваются строки, состоящие сплошь из нулей.

5.Используя конечную(ступенчатую) матрицу, составить систему уравнений. При этом возможны два случая, когда система является совместной:

а) т.е система имеет вид

Тогда r неизвестных будут главными,а остальные n-r свободными. Из последнего уравнения найти неизвестное , через свободные неизвестные , предпоследнего и т.д.