Исследование состава смеси при помощи системы химических сенсоров

Сенсорами называют химически чувствительные приборы, выходной сигнал которых (например, ток или напряжение) зависит от концентрации определенного вещества в газовой среде или растворе.

Пусть имеется смесь из трех веществ А,В и С и три сенсора, чувствительности которых к данным веществам известны (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Номер сенсора	Чувствительность сенсора к веществу	Регистрируемый сигнал (отн.ед.)
A	B	C

При этом для каждого сенсора выполняются следующие условия:

1)сигналы, обусловленные присутствием в смеси каждого из веществ, дают аддитивный вклад в общий отклик сенсора ;

2)величина сигнала от определенного вещества(компонента) прямо пропорциональна его концентрации, причем значение коэффициентов пропорциональности (т.е. величина чувствительности ) для каждого из веществ индивидуально.
Если теперь концентрации веществ А,В и С в смеси обозначить соответственно через , то для i-го сенсора сумма

будет означать общий отклик сенсора, т.е.

(1.5)

Таким образом, процедура расчета концентраций компонентов A, B и С сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Задача. Составить систему алгебраических уравнений для определения концентраций компонентов А,В и С в смеси исходя из величины сигнала, регистрируемого каждым сенсором(последняя колонка таблицы 1.2).

Решение. Запишем уравнение (1.5) для каждого сенсоров:

Для нахождения решения полученной системы линейных уравнений можно воспользоваться, например, методом Гаусса или правилом Крамера. Контроль качества определения концентраций компонентов в смеси можно выполнить путем подстановки найденных значений концентрации ,в исходную систему и вычисления невязок

При малой погрешности решений величины близки к нулю.

Замечание. Мерой чувствительности рассматриваемой системы из нескольких сенсоров является детерминант матрицы, составленной из коэффициентов , значение которого максимально в том случае, если все сенсоры строго селективны (а это значит, что все элементы матрицы, кроме диагональных, равны нулю).

АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Некоторые физико-химические технологические процессы бывают настолько сложными, что построить какую-либо подходящую математическую модель для них не всегда удается. В таких случаях для выявления соотношений между переменными величинами иногда уместно применить анализ их размерностей. Этот математический метод особенно эффективен в сочетании с данными экспериментов.

В основу анализа размерностей положена так называемая – теорема, согласно которой общую функциональную зависимость, связывающую между собой nпеременных величин при m основных единицах измерения, можно представить в виде зависимости между n-m безразмерными комплексами этих величин. Эта теорема дает возможность представить соотношение между некоторым числом размерных величин, характеризующих данный процесс, в виде соотношения между меньшим числом безразмерных величин.

Пусть установлено, что изучаемый процесс зависит от параметров . например , В общем виде связь между этими параметрами запишем так:

)

При описании процесса часто оказывается возможным последнюю фун­кцию представить в некотором приближении в виде степенной зависимости между параметрами N и (i=1,2,3,4):

(1.6)

где x,y,z, и u –неизвестные величины; -безразмерный коэффициент.

Требуется получить математическую зависимость между x,y,z, и u, применяя анализ размерностей этих величин.

Предположим, что размерности всех параметров, характеризующих процесс, выражаются через основные единицы измерения СИ, т.е. массу М(кг),длину L(м), и время Т (с).

Так смысл параметров, входящих в уравнение (1.6), известен, то их размерности можно выразить через M,L и T;

Подставив эти выражения в уравнение (1.6), получим

= , или

=

Учитывая, что размерности обеих частей последнего уравнения одинаковы, а коэффициент - безразмерный, можно приравнять показатели при равных степенях M,L и T правой и левой частей уравнения и получить в итоге следующие уравнения:

+

+

+ (1.7)

Итак, математической моделью для нахождения неизвестных величин x,y,z, и u в уравнении (1.6) является линейная алгебраическая система.

Задача. Пусть система (1.7) известна и такова, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен 3. Используя -теорему, установить связь между безразмерными комплексами величин .

Решение. Система (1.7) такова, что ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен 3. Поэтому любые три переменные этой системы выражают через четвертую. Выразим, например x,y,z, и u.

где a,b,c,d,e,k- числа, выражающиеся через коэффициенты системы (1.7).

Подставим найденные величины в уравнение (1.6):

или

Последнее выражение можно записать в безразмерной форме:

Таким образом, связь между пятью параметрами, входящими в формулу (1.6) представлена в виде зависимости между двумя безразмерными комплексами:

и

В уравнение (1.8) входят неизвестные параметры , которые могут быть определены путем экспериментального исследования процесса.

Замечание. Метод анализа размерностей не является универсальным. Однако его сочетание с известной теорией подобия, которая используется в курсе химической технологии, позволяет сводить задачи с достаточно большим числом величин определенной размерности к задачам с меньшим числом безразмерных комбинаций, составленных из этих величин. Более подробно с этой теорией можно ознакомиться, например, в книге [ 5, гл. II].