Действия над матрицами

Матрицы

Матрицей будем называть таблицу, состоящую из m строк и n столбцов, вида

A= (1.1)

где -элемент матрицы, стоящей в i-й строке и в j-м столбце.

Матрицу (1.1) называют матрицей размера m n.

Если m=n, матрица называется квадратной порядка n.

Для квадратной матрицы сумма всех элементов называется следом матрицы и обозначается trA, т.е.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Две матрицы одинакового размера

равны между собой, если для всех i и j.

Сложение и вычитание матриц одного размера:

Умножение матрицы на число

Операция сложения и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

В результате умножения матрицы A на матрицу B получают матрицу ,где

т.е. чтобы получить элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце, i-ю строку матрицы A умножают на j-й столбец матрицы B и полученные произведения складывают. Такая операция возможна, если число столбцов у A равно числу строк у матрицы B. Поэтому не всегда

Для квадратных матриц одного порядка

Квадратная матрица называется симметрической, если ,

Пример.

Матрица , полученная из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной.

Определение детерминанта (определителя)

Выражение

или, ::=

называется определителем(или детерминантом) второго порядка матрицы

Применив принцип математической индукции, дадим определение detA матрицы A, порядок которой n:

,где уже определен детерминант матрицы (n-1)-го порядка.

Обратная матрица

Квадратная матрица , у которой , называется невырожденной, а при - вырожденной

Теорема о существовании обратной матрицы. Для невырожденной матрицы A с уществует единственная обратная матрица

,где -алгебраическое дополнение элемента матрицы A.