Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема (предельный признак сравнения).⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 17 Если на промежутке функции и непрерывны и неотрицательны, а предел их , где - число, не равное нулю, то оба несобственных интеграла и либо сходятся, либо расходятся одновременно. Мы не будем приводить доказательство этой теоремы, а укажем только направление рассуждений для организации доказательства. Указание. Если выбрать настолько малым, чтобы окрестность не содержала , то для «больших» будет выполняться неравенство , или и остается воспользоваться первым признаком сравнения.
Теорема. Если функция непрерывна на промежутке и интеграл сходится, то сходится и интеграл . Доказательство: Рассмотрим две функции: и . (заметим, что функция совпадает с функцией в тех точках, где последняя положительна, и равна нулю в остальных точках, а функция совпадает с функцией в тех точках, где она отрицательна, и равна нулю в остальных точках). Очевидно, что . Воспользовавшись теоремой сравнения (в нашем случае и ), можно утверждать, что интегралы и , а значит и сходятся. Но тогда будет сходиться и интеграл , поскольку для него справедливо равенство: = + Проверка последнего равенства осуществляется заменой интегралов по бесконечному промежутку соответствующими пределами. Отметим, что если вместе с интегралом сходится и интеграл , то интеграл называется абсолютно сходящимся, в противном случае (если сходится только интеграл ) он называется условно сходящимся. Аналогичные теоремы можно сформулировать как для несобственных интегралов первого рода по промежуткам и , так и для несобственных интегралов второго рода.
|