Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку).

Определение: Пусть функция непрерывна на промежутке , тогда очевидно, что при любом имеет смысл интеграл . Будем расширять промежуток , увеличивая . Тогда, если существует предел:

, то этот предел называется несобственным интегралом от функции по бесконечному промежутку и обозначается .

Отметим, что если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (говорят, что он сходится). В противном случае (если предел бесконечен или не существует) говорят, что расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку .

Определение: Несобственный интеграл определяется как следующая сумма несобственных интегралов:

= + .

Отметим, что легко показать, что так определенный интеграл не зависит от выбора точки . Этот интеграл называется сходящимся, если сходящимися являются интегралы и , в противном случае он называется расходящимся.

Примеры:

1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

а) = = = =

= = =

б) = = = = (интеграл расходится)

в) = = = Поскольку последний предел не существует, то интеграл расходится.