Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема 9-10 Определенный интеграл.
Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида (1) будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где . Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть = . Экономический смысл интеграла. Если - производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток . Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или . Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определенного интеграла. 1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть , где - некоторое число. 2.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть . 3.Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых 4.Если на отрезке , где , , то и . Следствие. Пусть на отрезке , где , , где и - некоторые числа. Тогда . Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение , что . Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница. Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда имеет место равенство = . Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда . Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле
Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , и находится по формуле . Глоссарий
Тема11-12.Дифференциальные уравнения. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид . Решением дифференциального уравнение называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество. Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменных и произвольных независимых постоянных . Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных . Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении (1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве координатной плоскости. Тогда 1. Для любой точки множества найдется решение уравнения (1), удовлетворяющее условию . 2. Если два решения и уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены. Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от , либо только от . Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
или в виде , где , , - некоторые функции переменной ; - функции переменной . Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид , где и - некоторые (непрерывные) функции переменной . В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , (2) где - некоторые действительные числа, - некоторая функция. Если , то уравнение (3) называется однородным, в противном случае при уравнение (2) называется неоднородным. Теорема. Если и - линейно независимые частные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид , Для некоторых действительных чисел и . Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (3). Теорема. 1. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид , где и - некоторые числа. 2. Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень (кратности 2), то общее уравнения (3) имеет вид , где и - некоторые числа. 3. Если характеристическое уравнение (4) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (3) имеет вид , где , , и - некоторые числа. Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3) и частного решения исходного неоднородного уравнения (2). Глоссарий
|