Ряды с членами произвольного знака

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд в котором члены попеременно то положительны то отрицательны

Теорема. (Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю, ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (1) сходится, то сходится и данный ряд.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Степенным рядом называется ряд вида

(3)

Совокупность тех значений , при которых степенной ряд (3) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. 1). Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях таких, что . 2). Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях таких, что .

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по одной из формул

1. ,

2. .

Тогда областью сходимости степенного ряда будет интервал .

На любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости , функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости .

Имеют место следующие разложения элементарных функций.

Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Определение числового ряда	, где -й член ряда
	Частичная сумма ряда. Сходимость ряда.	- -я частичная сумма ряда. Ряд сходится к сумме , если существует
	Ряд геометрической прогрессии	сходится, если и расходится, если
	Гармонический ряд	- расходящийся ряд
	Необходимое условие сходимости ряда	Если ряд сходится, то
	Признак сравнения знакоположительных рядов	Даны ряды и , , . Если для любого , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .
	Признак Даламбера	Дан ряд , . Если то при ряд сходится, при ряд расходится.
	Интегральный признак Коши	Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл где - невозрастающая на функция.
	Теорема Лейбница	Ряд сходится, если члены ряда монотонно убывают и
	Степенной ряд	, где - коэффициенты степенного ряда
	Радиус и интервал сходимости степенного ряда	- радиус сходимости, если при ряд сходится, а при - расходится. () – интервал сходимости степенного ряда.
	Определение радиуса сходимости степенного ряда
	Ряд Маклорена
	Разложение функций в ряд Маклорена	; ; ; ;

Тема 15 Функции многих переменных.

Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимой переменной. Множество Х называется областью определения функции.

Многомерным аналогом функции полезности является функция , выражающая зависимость от приобретенных товаров.

Также на случай переменных обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов .

Функцию двух переменных будем обозначать . Ее область определения есть подмножество координатной плоскости. Окрестностью точки называется круг, содержащий точку .

Число называется пределом функции при и (или в точке ), если для любого малого числа найдется число (зависящее от ), такое, что для всех точек , отстоящих от точек на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

Обозначается предел так; .

Функция называется непрерывной в точке , если она

1. определена в точке

2. имеет конечный предел при и

3. этот предел равен значению функции в точке , то есть .

Величина называется полным приращением функции в точке . Если задать приращение только одной какой – либо переменной то получается частное приращение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Таким образом, для функции по определению

.

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, то есть

или .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде , где

- бесконечно малые при .

Теорема. Если частные производные и функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Градиентом функции называется вектор . Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Теорема. Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно определить также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Если частные производные второго порядка функции непрерывны в точке , то в этой точке .

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция

1.определена в некоторой окрестности критической точки , в которой .

2.имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , .

Тогда, если , то в точке функция имеет экстремум, причем если - максимум, если - минимум. В случае функция экстремумов не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1.Найти частные производные первого порядка.

2.Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.

3.Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4.Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Основная литература

1. Д.Письменный. Конспект лекций по высшей математике, Айрис, 2007.
2. К.Лунгу и др. Сборник задач по высшей математике, Айрис, 2009.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1970.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985, Т 1.
5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1971.

Дополнительная литература:

1. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1983.

2. Высшая математика. Общий курс. / Под ред. А.И. Яблонского. – Минск: Высшая школа, 1993.

3. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 2000.

5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. – М.: Наука, 1986.

6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987.

ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Преподаватель кафедры: __________________

СОГЛАСОВАНО:

Заведующий кафедрой

«_________»________________________2013 г.

УТВЕРЖДЕНЫ

на заседании кафедры

«Компьютерная и программная инженерия»

учреждения «Университет «Туран»

Протокол № __ от «____»________ 2013 г.

Заведующий кафедрой,

профессор _____________ Кубеков Б.С