Тема 5-6. Приложения производной

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка ,то она убывает на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Для того, чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1.Найти производную .

2.Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4.Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Второе достаточное условие экстремума. Теорема.

Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции , если отрицательна, то - точка максимума.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке пользуемся следующей схемой.

1.Найти производную .

2.Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3.Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит под графиком функции.

Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит над графиком функции.

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть .

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых второй производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

При исследовании функции на построение их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность- нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Достаточные условия возрастания (убывания) функции	Если функция дифференцируема на (а,в) и на этом интервале, то функция на этом интервале убывает (возрастает).
2.	Экстремум функции	Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой ее окрестности выполняется неравенство
3.	Необходимое условие экстремума	Для того, чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала: или не существует.
4.	Достаточное условие экстремума	Если при переходе критической точки слева направо производная меняет свой знак с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум, а если с минуса на плюс- минимум.
5.	Выпуклость и вогнутость графика функции	Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале (а,в), если все точки графика функции лежат ниже (выше) любой касательной к кривой
6.	Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции	Если вторая производная () на интервале (а,в), то на этом интервале график функции выпуклый (вогнутый).
7.	Точка перегиба	Точка на кривой, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба графика функции.
8.	Необходимое условие перегиба	Вторая производная в точке перегиба равна нулю или не существует: или не существует.
9.	Достаточное условие перегиба	Если вторая производная при переходе через критическую точку меняет свой знак, то в этой точке график функции имеет перегиб.
10.	Асимптоты графика функции	Асимптотой графика функции называется прямая, такая, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
11.	Вертикальные и наклонные асимптоты	Прямая является вертикальной асимптотой для функции , если Прямая является наклонной асимптотой, если: