Расчёт деревянных балок цельного сечения

К цельным деревянным элементам относятся стержни, состоящие из одного бруса, бревна или доски. Стержни, состоящие из пакета склеенных между собою досок, в расчете могут быть приравнены к цельным элементам.

14.1 Центрально растянутые элементы

Проверка прочности центрально растянутых элементов производится по формуле:

N/fнт £ Rр (3)

Обратная задача - подбор требуемой площади сечения растянутого элемента решается при помощи формулы:

Fтр = N/kослRр (4)

В этих формулах:

N - расчетное продольное усилие в элементе;

р - расчетное сопротивление растяжению;

Fит = Fбр - площадь нетто наиболее ослабленного сечения элемента (расчетная);

Kосл = Fнт/Fбр - коэффициент, учитывающий ослабление сечения и принимаемый в пределах от 1 (отсутствие ослаблений) до 0,5 (наибольшее ослабление должно быть не более 50% площади брутто -Fбр).

При определении площади ослаблений (Fосл) все ослабления, расположенные на участке длиной 20 см, считаются совмещенными в одном сечении во избежание разрыва по зигзагу.

Если ослабления элемента расположены несимметрично относительно центра тяжести его поперечного сечения, то такой элемент должен рассчитываться как внецентренно растянутый.

Несмотря на высокую прочность чистой древесины па растяжение (1000 кг/см²), разрушение деревянных элементов в конструкциях при стечении неблагоприятных условий может произойти при значительно более низких напряжениях порядка 150 - 300 кг/см².

Главной причиной столь резкого падения прочности древесины при растяжении являются пороки - сучковатость, косослой и др., влияние которых учитывается умножением нормативного сопротивления на коэффициент kпор = 0,36.

При изготовлении растянутых деревянных элементов необходимо строго следить за тем, чтобы содержание упомянутых пороков не превышало норм, установленных ТУ для элементов I категории.

Другой причиной, влияющей на понижение прочности растянутых деревянных элементов, являются резкие изменения поперечного сечения врубками, врезками, отверстиями, вызывающими концентрацию напряжений в ослабленных ими сечениях. Учет концентрации напряжений производится снижением расчетного сопротивления для элементов, имеющих ослабления в расчетном сечении, примерно на 20%.

Прочность древесины на растяжение поперек волокон практически равна нулю и не может быть использована в несущих конструкциях.

14.2 Центрально сжатые элементы

Разрушение центрально сжатых стержней может произойти от потери прочности или от потери устойчивости. Проверку прочности стержня делают в наиболее ослабленном сечении по формуле:

N/Fнт £ Rс (5)

Проверку устойчивости стержня делают в зоне, опасной на продольный изгиб, по формуле:

N/jFрасч £ Rс (6)

где N - расчетное продольное усилие в стержне;

Rс - расчетное сопротивление сжатию древесины вдоль волокон;

Fнт = Fбр - Fосл - площадь сечения нетто, определяемая как и для растянутых элементов;

Fрасч - расчетная площадь поперечного сечения элемента при проверке устойчивости.

Входящий в формулу (6) коэффициент продольного изгиба j представляет собой отношение критического напряжения sкр, то есть напряжения, при котором стержень теряет устойчивость, к пределу прочности Rпр древесины на сжатие вдоль волокон и выражается формулой:

j = sкр/Rпр = p2E/l2 * 1/Rпр (7)

Здесь критическое напряжение определено но формуле Эйлера sкр = p2E/l2, действительной в пределах пропорциональности материала, то есть при напряжениях, примерно, не выше sп.п. = 0,5R = 175 кг/см² и гибкостях не менее

l = Ö p2E/sп.п.» 75

В выражение коэффициента j входит отношение E/Rпр модуля упругости к пределу прочности материала. По исследованиям ЦНИПС это отношение для древесины не зависит ни от породы и степени влажности, ни от длительности действия нагрузки; его можно считать постоянным и равным E/Rпр = 312.

Подставив эту величину в формулу (7), находим

j = 3100/l2, при l > 75 (8)

Полученная зависимость не будет действительной за пределами пропорциональности материала, так как модуль упругости древесины уменьшается и отношение E/Rпр становится переменным.

Коэффициент продольного изгиба за пределом пропорциональности на основании исследований ЦНИПС определяют по формуле Д. А. Кочеткова

j = 1 – 0.8*(l/100) 2, при l £ 75 (9)

В формулах (8) и (9) единственным аргументом является гибкость стержня l = lо/r, то есть отношение расчетной длины к радиусу инерции поперечного сечения стержня в плоскости его возможного выгиба при потере устойчивости. Расчетная длина стержня lо зависит от способа закрепления его концов. Если оба конца закреплены шарнирно, то расчетная длина равняется действительной (1о=1). При неподвижном закреплении одного конца элемента и другом шарнирном расчетная длина принимается 1о=0,81. При обоих неподвижно закрепленных концах 1о=0.651. Если один конец элемента закреплен неподвижно, а другой свободен, lо=2l; для последнего случая при распределении нагрузки по всей длине lо =1,12l.

Радиус инерции сечения стержня определяется по общей формуле:

r = Ö Iбр/Fбр (10)

Для прямоугольного сечения г=0,289/h, где h - сторона сечения в плоскости возможного выпучивания стержня.

Для круглого сечения r = 0,25d, где d = диаметр стержня в середине опасной зоны или у защемленного конца.

Центрально сжатые стержни менее чувствительны к порокам древесины, чем растянутые, и выполняются из древесины второй категории. Концентрация напряжений в сжатых элементах тоже не столь опасна, как в растянутых. Объясняется это наличием пластичности в работе древесины на сжатие, способствующей выравниванию напряжений в местах их концентрации, что предотвращает преждевременное разрушение материала.

Деформации, происходящие от провисания под действием собственного веса или от вибраций, снижают несущую способность сжатых элементов, а потому должны быть ограничены. Для этого гибкость сжатых элементов по нормам не должна превышать:

а) основных элементов (поясов, опорных стоек и опорных раскосов ферм, колонн) - 120;

б) второстепенных элементов - 150;

в) связей - 200.

14.3 Изгибаемые элементы

Изгибаемые элементы - настилы, обрешетки, обшивки, стропильные ноги, балки, прогоны - являются самыми распространенными элементами в деревянных зданиях и сооружениях. Так, например, в деревянных покрытиях зданий расход древесины на основные несущие конструкции (фермы) составляет 15 - 20% от общего расхода древесины на покрытие. Остальные 85 - 80% составляет объем элементов крыши, в основном - изгибаемых.

Поэтому рациональное проектирование изгибаемых элементов и полное использование их несущей способности ведут к экономии лесоматериала.

Деревянные изгибаемые элементы менее чувствительны и порокам древесины, чем растянутые, но более, чем сжатые. Балки цельного сечения разрешается выполнять из древесины второй категории. Особенно неблагоприятно отражаются на прочности балок сучки, выходящие на ребро растянутой кромки сечения. При установке балок рекомендуется ставить их той кромкой вниз, которая на ребрах имеет меньше сучков.

Расчет изгибаемых элементов состоит из проверки прочности (несущей способности) и проверки жесткости (прогиба). Различают два вида работы элементов на изгиб: простой изгиб, когда нагрузка действует в плоскости одной из главных осей инерции сечения изгибаемого элемента и косой изгиб, когда направление нагрузки не совпадает ни с одной из главных осей инерции.

Косой изгиб наблюдается в поставленных наклонно балках и прогонах покрытий, выполняемых из досок или брусьев. В элементах круглого сечения косого изгиба быть не может. Расчет на косой изгиб производится лишь в том случае, когда балки имеют возможность прогибаться в любом направлении. При прочном соединении балок с жесткой в своей плоскости крышей прогиб их в плоскости крыши становится невозможным, и они рассчитываются на простой изгиб в направлении, перпендикулярном к плоскости крыши.

Расчет изгибаемых элементов на прочность при простом изгибе производится по формуле:

M/Wрасч £ Rи (11)

а при косом изгибе, учитывая, что в наиболее напряженной точке

s = sx + sy = Mx /Wx + My/Wy

Mx /Wx + My/Wy £ Rи (12)

Здесь М - расчетный изгибающий момент;

Мx и Мy - составляющие расчетного изгибающего момента относительно главных осей х и у;

sx и sy - соответствующие моментам Мх и My напряжения изгиба;

Rи - расчетное сопротивление древесины изгибу;

Wрасч - расчетный момент сопротивления рассматриваемого поперечного сечения, определяемый для цельных элементов по площади сечения нетто; для составных стержней момент сопротивления нетто умножают на поправочный коэффициент kw;

Wx и Wу - расчетные моменты сопротивления рассматриваемого поперечного сечения для осей х и у.

Особенности работы изгибаемых элементов учитываются введением в расчетное сопротивление коэффициентов условий работы, которые отражают влияние различных факторов, повышающих или понижающих сопротивление древесины изгибу. За нормальный случай принимается работа на изгиб досок, брусков и брусьев с размерами сторон сечения менее 14 см, для которых mи = 1,0.

Крупные брусья, имеющие размеры сторон сечения 14 см и более при отношении высоты сечения к его ширине h/b< 3,5 показывают некоторое повышение прочности в работе на изгиб, вследствие уменьшения отрицательного влияния перерезанных пилой волокон древесины на прочность массивных деревянных элементов. Для этого случая принимается коэффициент условий работы mи = 1,15.

По той же причине для изгибаемых бревен, у которых отсутствуют врезки в расчетном сечении, в расчетное сопротивление введен коэффициент условий работы mи = 1,2. Прочность бревен, имеющих врезки, приравнивается к прочности брусьев соответствующих размеров.

14.4 Особенности проектирования изгибаемых элементов покрытий

Настилы и обрешетки. Применяются в качестве основания для различных кровель в покрытиях, подшивки потолков и настила пола в чердачных и междуэтажных перекрытиях, обшивки стен, настила проезжей части мостов и эстакад и т. д.

В покрытиях промышленных зданий в качестве основания под рулонную кровлю применяется двойной перекрестный настил. Сплошной верхний защитный слой во избежание сильного коробления выполняется из воздушносухих антисептированных досок толщиной 16 - 19 мм и шириной 80 - 100 мм, расположенных под углом 45 - 60° к нижнему рабочему (расчетному) слою. Рабочий настил делается, обычно, разреженным, из досок или брусков, назначаемых по расчету.

Оба настила прошиваются гвоздями и ими же крепятся к прогонам или к скатным брусьям. Такой настил образует жесткую пластинку в плоскости крыши, обеспечивающую пространственную неизменяемость покрытия при условии надежного соединения покрытия с верхними поясами ферм.

Настилы и обрешетки рассчитывают по прочности и по прогибу, условно рассматривая их как двухпролетные неразрезные балки. Междуэтажные перекрытия, помимо обычного расчета на прогиб, рекомендуется проверять на зыбкость по правилам, изложенным в приложения V к проекту ТУ.

Расчет настилов и обрешеток производится при следующих сочетаниях нагрузок:

1) собственный вес q покрытия и снега рсн;

2)собственный вес q и сосредоточенный груз Р=100 кг с коэффициентом перегрузки последнего n = 1.

Обычно настилы и обрешетки расположены наклонно, причем может быть два случая: когда настил расположен перпендикулярно к коньку крыши (продольно наклонный настил) и когда он расположен параллельно коньку крыши (поперечно наклонный настил).

В расчетах учитываем, что нагрузка q относится к единице поверхности покрытия, а нагрузка рcн - к единице горизонтальной проекции покрытия.

Наклонные балки. К ним относятся стропильные ноги наслонных стропил, скатные брусья покрытий, прогоны в наклонных эстакадах и т. п. Работа таких балок характеризуется тем, что основная вертикальная нагрузка действует на них не под прямым углом к оси элемента, а под углом b = 90° - a, где a - угол наклона рассчитываемого элемента к горизонту.

В этих условиях нагрузка разлагается по двум направлениям: вдоль оси балки и перпендикулярно к ней.

Продольная составляющая производит сжатие или растяжение балки, в зависимости от закрепления ее концов. Учет продольной составляющей необходим лишь при очень крутых (a > 45°) углах наклона балок и тяжелых крышах. Перпендикулярная составляющая нагрузки производит изгиб балки.

Пролеты наклонных балок часто задают в виде горизонтальных проекций расстояний между опорами (lо), а нагрузки - в виде равномерно распределенных нагрузок (qо) на горизонтальную проекцию поверхности покрытия. В этом случае интенсивность нагрузки, перпендикулярной к скату крыши, qx = qо*cos2a,

пролет балки по наклонному направлению l = lo/cosa, расчетный момент

М = qxl2/8 = (qо*cos2a*lo2)/(8*cos2a) = qо*lo2/8 (13)

Таким образом, не очень крутые наклонные балки могут рассчитываться как горизонтальные с пролетом lo и нагрузкой qo.

Если нагрузка задается в виде веса (q) 1 м2 поверхности покрытия, то qx = q*cosa и

М = qxl2/8 = (q*cosa*lo2)/(8*cos2a) = qо*lo2/8*cosa (14)

При наличии обеих видов нагрузки расчетный момент:

М = qolo2/8 = qo*lo2/8 + q*lo2/8*cosa) = lo2/8*(qo + q/cosa) (15)

Прогоны, то есть многопролетные продольные балки, в покрытиях зданий могут быть запроектированы разрезными, консольно-балочными или неразрезными. Разрезные прогоны цельного сечения выполняются из одного бруса или бревна.

При выпиливании брусчатых прогонов из бревен на месте производства работ следует учитывать, что брус с максимальным моментом сопротивления имеет отношение высоты к ширине h/d = 7:5 = 1,4, а с максимальным моментом инерции - 12: 7= 1,72. Брусья, применяемые для прогонов и балок, рекомендуется для экономии древесины брать с обзолами, а не чистообрезные. Высокие балки прямоугольного сечения должны быть обеспечены от бокового выпучивания настилами или иными связями, расположенными по длине балки на расстоянии не более 20-кратной ее толщины.

Стыкование разрезных прогонов над опорами иногда производится при помощи подбалок. Применение подбалок облегчает опирание прогона на опору, делает его более надежным, а также несколько сокращает расчетный пролет прогона. Если подбалки выполняются из лесоматериала, одинакового сечения с прогоном, вылет подбалки может быть принят а = 1/6l. По правилам проектирования деревянных автодорожных мостов при наличии подбалок разрешается сокращать расчетный пролет прогонов на 10%.

Более выгодными по расходу древесины, чем разрезные прогоны, но более сложными в конструктивном отношении являются консольно-балочные и неразрезные спаренные прогоны.

Консольно - балочные прогоны выполняются из брусьев или бревен и применяются чаще всего в покрытиях и чердачных перекрытиях зданий при преобладающей равномерно распределенной нагрузке во всех пролетах.

Неразрезные спаренные прогоны выполняются из двух досок или двух пластин, соединенных между собою по всей длине гвоздями. Каждая половина такого прогона выполняется по цепной равнопрогибной схеме со стыками, расположенными в одну сторону от опор на расстоянии х = 0,21l. Другая половина прогона выполняется по той же схеме, но со стыками, расположенными в другую сторону от опор. В таком прогоне нет удлиненных элементов и длины всех основных элементов равняются l.

Стыки неразрезных прогонов располагаются в зоне наименьших моментов. Имеющаяся в каждом стыке одна неразрезная доска является достаточной для воспринятия усилий в этой зоне. В зонах наибольших моментов сечение прогона ослаблений стыками не имеет. Вследствие этого неразрезные прогоны в расчетах условно рассматриваются как балки постоянного сечения, состоящие из двух досок или пластин.

При равных пролетах и равномерно распределенной нагрузке q наибольшие моменты, равные q’2/10,будут в первом пролете и над второй опорой; над другими опорами моменты равняются ql2/12. Прогиб крайнего пролета составляет (2,5/384)*(ql4/EI). Первый пролет равнопролетного прогона обычно усиливают третьей доской.

При той же схеме, но с сокращенным до 0,8 - 0,85l крайним пролетом, все опорные моменты равняются ql2/12, а прогиб уменьшается до (1/384)*(ql4/EI).

Сокращение крайних пролетов до 0,80 - 0,85l в неразрезных и консольно-балочных прогонах, кроме выравнивания моментов и прогибов, способствует выравниванию давлений на опоры прогонов. Неразрезные прогоны с равными пролетами и с равномерно распределенной нагрузкой оказывают на вторую опору давление на 13,2% большее, чем на другие промежуточные опоры. Если опорами служат фермы, то крайние фермы приходится делать утяжеленными по сравнению с промежуточными. Сокращение крайнего пролета позволяет избежать этого недостатка.

14.5 Элементы, работающие на сложное сопротивление

К элементам, работающим на сложное сопротивление, относятся элементы, находящиеся под одновременным воздействием продольной силы N и изгибающего момента М.

Сложное сопротивление создается (Рис. 41)

1) внецентренным действием продольной силы;

2) совместным действием продольной силы и нагрузки, вызывающей поперечный изгиб;

3) продольной силой при кривизне элемента;

4) продольной силой при наличии несимметричного ослабления элемента.

В зависимости от знака продольного усилия различают сложное сопротивление сжатию и изгибу и сложное сопротивление растяжению и изгибу. Например, верхние пояса балочных ферм при наличии на панелях поперечной нагрузки или при наличии несимметричных ослаблений, кривизны и т. д. являются сжато - изгибаемыми элементами.

Нижние пояса при тех же условиях будут растянуто - изгибаемыми. К сжато - изгибаемым элементам относятся обычно стойки деревянных каркасов зданий, нагруженные продольными силами от вертикальной нагрузки и поперечной нагрузкой от действия ветра.

Сжато - изгибаемые элементы относятся ко II категории элементов, а растянуто - изгибаемые - к I категории. В деревянных конструкциях рекомендуется по возможности избегать применения растянуто-изгибаемых элементов, обладающих наибольшей чувствительностью к порокам древесины и к местным ослаблениям сечения элементов врезками и отверстиями.

Расчет сжато-изгибаемых элементов. Краевое напряжение при сложном сопротивлении выражается формулой:

s = N/Fнт + M/Wнт (16)

Отсюда в предельном состоянии, с учетом различной прочности материала на сжатие и изгиб, получим

N/Fнт + M/Wнт * Rc/Rи £ Rc (17)

В этих формулах

Fнт, Wнт - площадь нетто и момент сопротивления нетто рассчитываемого сечения;

Rc, Rи - расчетные сопротивления сжатию вдоль волокон и изгибу;

N - расчетное продольное усилие в рассматриваемом сечении элемента;

М - расчетный изгибающий момент, в том же сечении, вычисляемый с учетом прогиба рассчитываемого стержня.

По расчетной схеме сжато-изгибаемого стержня (Рис. 42.) найдем, что искомый момент М состоит из двух частей:

М = Мo + Nf (18)

где Мо - момент от поперечной нагрузки или внецентренного действия продольной силы, не зависящий от прогиба;

Nf - момент от продольного усилия N, зависящий от прогиба f.

Для определения, прогиба воспользуемся известными формулами сопротивления материалов:

f = fo * 1/(1 – N/Nкр) и fo = Mo/Nкр

где f - полный прогиб рассчитываемого элемента;

fo - прогиб только от поперечной нагрузки;

Nкр = p2EI/l2 - критическое усилие продольного изгиба по Эйлеру для рассчитываемого элемента. Подставив эти величины в формулу (18), получим:

M = Mo + Nf = Mo[ 1 + N/Nкр(1 – N/Nкр)] = Mo/(1 – N/Nкр) = Mo/x

где x - коэффициент, учитывающий дополнительный момент от продольного усилия вследствие деформации стержня. Вычисление коэффициента:

x = 1 - l2 /3100 * N/(Rc*Fбр) (19)

Окончательно, формула для проверки прочности сечения при сложном сопротивлении сжатию и изгибу, принимает вид

N/Fнт + (Mo*Rc)/(x*Wрасч*Rи) £ Rc (20)

N/(Rc*Fнт) + Mo/(x*Wрасч*Rи) £ 1 (21)

Коэффициент x является действительным в пределах от 1 до 0.

Рассмотрим, чему соответствуют предельные значения этого коэффициента: при x = 1 из формулы (19) получим l = 0, то есть элемент является избыточно жестким и деформации его могут не учитываться;

при x = 0 из той же формулы следует, что N = (3100/l2)*Rc*Fбр, то есть несущая способность стержня исчерпывается действующим продольным усилием и никакого изгибающего момента он воспринять не может.

Полученное выше выражение (19) коэффициента x является приближенным и для стержней с малыми гибкостями l < 75 - недостаточно точным, так как при выводе было принято значение j = 3100/l2, действительное лишь для l ³ 75.

Расчетные значения поперечной силы Q и сдвигающего усилия Т в сжато-изгибаемых элементах определяются по формулам:

Qo = Qo/x и T = To/x = (Qo*S)/(l*x)

Здесь Qo и То - поперечная сила и сдвигающее усилие только от поперечной нагрузки;

x- коэффициент, определяемый по формуле (19).

Расчет растянуто-изгибаемых элементов. При расчете на растяжение с изгибом влиянием прогиба стержня пренебрегают, так как возникающий при прогибе момент приводит к уменьшению момента от поперечной нагрузки.

Расчет ведут по формуле (17) с заменой расчетного сопротивления Rс расчетным сопротивлением Rp, а также с учетом отношения прочностей при растяжении и изгибе:

N/Fнт + Mo/Wнт * Rp/Rи £ Rp (22)

где N - расчетное усилие растяжения;

Mo - расчетный изгибающий момент только от поперечной нагрузки или от внецентренного приложения продольной силы N без учета прогиба элемента.