Краткие теоретические сведения. Понятие о дифференциальном уравнении

Понятие о дифференциальном уравнении

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это такое уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции.

В общем виде ОДУ можно записать в виде:

,

где – независимая переменная, ‑ -ая производная от искомой функции, – порядок уравнения.

Общее решение ОДУ -го порядка содержит произвольных постоянных , т.е. n -е множество решений.

Общее решение имеет вид:

.

Для выделения единственного решения необходимо задать дополнительных условий.

В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач:

- задача Коши;

- краевая задача.

Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями.

Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши:

;

.

Примеры краевых задач:

.

Метод Рунге-Кутты

Итогом решения дифференциального уравнения является функция, которая в зависимости от способа решения может иметь вид таблицы (как в случае использования метода Рунге-Кутты) или формулы.

Как известно из курса дифференциальных уравнений, лишь небольшое число типов уравнений первого порядка допускают сведение решения к обычной операции интегрирования. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Поэтому большое значение имеют численные (приближенные) методы решения дифференциальных уравнений, позволяющие получить таблицу значений функции в требуемых точках.

Численные методы используются также в тех случаях, когда аналитическое решение не нужно для дальнейших расчетов.

Рассмотрим один из численных методов, который позволяет находить приближенное решение ОДУ в виде таблицы значений, метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности решения c фиксированным шагом интегрирования. Приближенный метод решения ОДУ был разработан немецкими математиками К. Рунге и М. Куттой в 1900 г.

Идея построения явных методов Рунге-Кутты n -го порядка заключается в получении приближений к значениям по формуле вида , где

,

,

,

…

.

Здесь – некоторые фиксированные числа (параметры), которые подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации n.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка в математических пакетах сводится к нахождению системы ОДУ 1-го порядка и его решению.

Для этого обозначим

Тогда

Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты в программе SMath Studio

Для решения этим методом в SMath Studio существует функция:

rkfixed(y;xn;xk;n;D(x;y)),

где y – вектор начальных значений искомых решений;

xn – значение точки начала отрезка интегрирования;

xk – значение точки конца отрезка интегрирования;

n – число шагов интегрирования;

D(x;y) – функция – вектор правых частей.

Решением является таблица (1-й столбец – значение х, 2-ой – значение решения у(х), 3-ий – первая производная у'(х)).

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1

Программирование линейного вычислительного процесса

Программирование разветвляющегося вычислительного процесса