Интерполяция функции степенными выражениями

Большинство численных методов основано на замене более сложных объектов (уравнений и т.д.) более простыми. Наиболее удобной в обращении на практике функцией является алгебраический многочлен. Чтобы задать многочлен, нужно задать только конечное число его коэффициентов. Значения многочлена просто вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т.д.

При решении задач инженер чаще всего использует числовые данные, полученные в результате эксперимента. Т.е. имеются данные x_i, y_i (i=0,…,n), а аналитическое выражение y=f(x) неизвестно.

Например, эти данные получены из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений.

Возникает задача приближенного восстановления (аппроксимации) функции f в произвольной точке x.

В этом случае неизвестную функцию можно аппроксимировать степенным выражением. Аппроксимация функции применяется также в случае, когда функция y=f(x) известна, но ее выражение очень сложное и неудобное в дальнейшем использовании. Поэтому приходится заменять исходную функцию приближенной.

Аппроксимация функции степенным выражением – это замена функции приближенной, точно совпадающей с ней в заданных точках (узлах интерполяции).

Часто для решения этой задачи на (n+1) точках строится алгебраический многочлен степени n:

P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ.

Он называется интерполяционным. Точки x_i (i=0…n) называются узлами интерполяции.

Аппроксимация функции f по формуле F(x)»P_n(x) называется интерполяцией функции.

Таким образом, интерполяцией называется построение аппроксимирующей функции , удовлетворяющей условиям

которые называются условиями Лагранжа.

Интерполяционной функцией называется аппроксимирующая функция удовлетворяющая условиям Лагранжа, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Используя P_n(x), можно получать прогнозы – находить значение y в тех точках x, которых нет в таблице.

Интерполяция по формуле

· при n=1 (по 2 точкам)

называется линейной;

· при n=2 (по 3 точкам)

называется параболической;

· при n=3 (по 4 точкам)

называется кубической.

Линейная интерполяция соединяет соседние точки отрезками прямых (линейным сплайном); кубическая – соседние точки соединяются отрезками кубического полинома (кубическим сплайном).

Существенным недостатком линейной интерполяции является то, что в точках стыка разных интерполяционных полиномов оказывается разрывной их первая производная. Этот недостаток устраняется при использовании особого вида много интервальной интерполяции: интерполяции сплайнами (англ. spline - рейка, линейка).

Кубическая интерполяция проводит кривую через заданные точки таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. (Это обеспечивает гладкость интерполяционной кривой.)

Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими своими производными непрерывна на всем заданном отрезке [ x₀;x_n ], а на каждом частичном отрезке [ x_i;x_i+1 ], в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом. Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [ x₀;x_n ] производной – дефектом сплайна.

Несмотря на выполнение условий Лагранжа в узлах, интерполяционная функция может иметь значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами.

С увеличением количества узлов возрастает и степень интерполяционного полинома, что приводит к резкому увеличению погрешности в результате возникновения так называемого явления волнистости. Для того чтобы избежать высокой степени полинома отрезок интерполяции разбивают на несколько частей и на каждом частичном интервале строят самостоятельный полином невысокой степени. Наиболее широкое распространение получили сплайны 3-ей степени.

Интерполяция сплайнами имеет очень простую и наглядную физико-механическую аналогию. Если попытаться совместить упругую металлическую линейку с узловыми точками, то форма, которую примет в этом случае линейка будет совпадать с графиком кубического сплайна. Вне узловых точек, где линейка свободна, она описывается уравнением прямой.

Аппроксимация функций степенным выражением используется не только для того, чтобы делать прогнозы, но и для случаев численного дифференцирования и интегрирования.

На практике в редких случаях удается вычислить точно определенный интеграл или проинтегрировать дифференциальные уравнения.

Но можно заменить эти функции степенным выражением, которые легко интегрируются и дифференцируются. Естественно, результат будет приближенным. В случае дифференцирования погрешность будет довольно большой, поэтому пользоваться такой заменой можно не всегда.

Нужно только помнить, что приближение функции производится на некотором промежутке, и в дальнейшем эту функцию можно применять только на этом промежутке.