Понятие функции и экстремума функции

Если для двух любых значений аргумента и , взятых из области определения функции, из неравенства следует, что

а) , то функция называется возрастающей;

б) , то функция называется неубывающей;

в) , то функция называется убывающей;

г) , то функция называется невозрастающей.

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции назы­ваются строго монотонными.

Экстремум – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Функция y=f(x) в точке x ₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x ₀, т.е. если существует такая окрестность точки x ₀, что для всех x ≠ x ₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x ₀ ).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x ₀, если существует такая окрестность точки x ₀, что для всех x ≠ x ₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) > f(x₀).

Необходимое условие существования экстремума: если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x ₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Достаточное условие существования экстремума: если x ₀ есть стационарная точка функции f(x) и f"(x)<0, то в точке x ₀ функция имеет максимума если f"(x) >0, то функция имеет в точке x ₀ минимум.

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти координаты точек, в которых первая производная обращается в ноль. Затем по знаку 2-ой производной определить минимум это или максимум. Если значение числа во второй производной является отрицательным число, то это значение является точкой максимума, если положительное число, то точкой минимума.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

Интерполяция функции степенными выражениями. Разложение функции в ряд Тейлора-Маклорена.