Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теоретические сведения. 2.1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения





 

2.1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

 

Любое уравнение с одним неизвестным может быть записано в форме (1)

Если функция f (x) представлена в канонической форме:

 

,

 

где a 0, a 1,..., an - любые действительные числа, то уравнение называется алгебраическим.

Уравнение называется трансцендентным, если f (x) включает функции ax,log ax,sin(x),tg(x) и т.п.

Необходимое условие существования корня уравнения (1) и достаточное условие единственности следуют из известной теоремы Больцано–Коши:

Пусть f(x) непрерывна и f(a)f(b) <0 (т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a, b] существует корень уравнения f(x) = 0. Корень будет единственным, если f¢ (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция.

Как правило, нелинейное уравнения общего вида f(х)=0 невозможно решить аналитически. Для практических задач достаточно найти приближенное значение x, в определенном смысле близкое к точному решению уравнения хточн.

В большинстве случаев поиск приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень на одном из таких отрезков, т.е. находят его значение с требуемой точностью.

Достигнутая точность может оцениваться либо «по функции» (в найденной точке x, функция достаточно близка к 0, т.е. выполняется условие | f(x)|≤ ef, где ef требуемая точность по оси ординат), либо «по аргументу» (найден достаточно маленький отрезок [a,b], внутри которого находится корень, т.е. |b–a|≤ ex, где ex требуемая точность по оси абсцисс).

На графике функции отображение корня уравнения – это место пересечения графика с осью ОХ, т.е. абсцисса точки пересечения графика с координатной осью OХ. Приближенно корень уравнения f(x)=0 можно получить графически, построив график функции.

 

 

2.1.2 Решение нелинейного уравнения с использованием функции Solve

 

В программе Smath Studio точные значения корней можно вычислить, используя функцию Solve (она может быть в двух вариантах Solve(2) и Solve(4), второй вариант находит корни уравнения на заданном интервале).

Рассмотрим первый вариант функции Solve(2):

Solve(<уравнение>; <переменная>)

Уравнение в данной функции может быть описано следующими способами:

1) как имя функции, которое заранее задано, например:

2) непосредственно уравнение без правой части прописывается в функции Solve

3) уравнение с правой частью, где вместо знака обычного равно ставится так называемое булево (или «жирное») равно с ПИ «Булева»:

Рассмотрим второй вариант функции Solve(4):

Solve(<уравнение>;<переменная>;<нач_интервала>;<кон_интервала>)

Например, найти корень уравнения на интервале [-2;0], см. рис. 2.1.

 

 

Рисунок 2.1 – Нахождение корня уравнения с помощью функции Solve(4)

 

2.1.3 Нахождение корней полинома с использованием функции polyroots

Если функция f(x) в уравнении f(x)=0 представляет собой полином степени n, т. е. , то для решения стоит использовать встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор коэффициентов полинома в котором все компоненты располагаются в порядке возрастания степени:

Поскольку полином n -й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из n +1 элемента. Число корней уравнения будет соответствовать степени полинома.

Функция polyroots(v) возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

2.1.4 Решение системы нелинейных уравнений с помощью функции roots

Решением системы нелинейных уравнений называется группа чисел, которые, будучи подставлены на место неизвестных, обращают каждое уравнение системы в тождество.

Формально задача поиска решения системы уравнений

может быть записана точно так же, как и задача поиска корня одного уравнения , где

Для решения используют функцию:

roots (<уравнения>;<переменные>).

Как уравнения, так и переменные задаются с помощью вектора (панель инструментов «Матрицы»).

Уравнения можно задать непосредственно в первоначальном виде, где используют символьное равенство. Можно также предварительно привести уравнения к виду f(x)=0.

Функция roots находит только действительные решения.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

 

Решение системы линейных алгебраических уравнений

 

 

Date: 2016-05-25; view: 544; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию