Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств
| Теория вероятностей | Теория множеств |
| Испытание с п исходами | Множество из п элементов |
| Отдельный исход испытания | Элемент множества |
| Случайное событие | Подмножество |
| Невозможное событие | Пустое множество |
| Достоверное событие | Подмножество, совпадающее со всем множеством |
| Вероятность события | Доля элементов подмножества среди всех элементов множества |
| Сумма событий А+В | Объединение событийА  В
|
| Несовместные события | Непересекающиеся подмножества |
| Противоположное событие | Дополнение подмножества до всего множества |
| Произведение событий А·В | Пересечение подмножествА  В
|
Вероятности противоположных событий:
Р(А) + Р(
) = 1; Р() = 1 - Р(А).
| В6.Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение:
Пусть А – «выбранная ручка пишет хорошо»,
– «выбранная ручка пишет плохо (или не пишет)».
По условию задачи Р() = 0,1.
Значит, вероятность того, что выбранная ручка пишет хорошо, по формуле вероятности противоположного события равна: Р(А) = 1 – Р() = 1 – 0,1 = 0,9.
В бланк ответов: 0,9
|
Пример 36.
Пример 37.
В6. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрела. Найти вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы раз.
Решение:
Пусть А – «мишень поражена при первом выстреле», В – «мишень поражена при втором выстреле», С - «мишень поражена при третьем выстреле». Тогда - промах. По условию Р(А) = 0,8, значит, Р( ) =1 – 0,8 = 0,2. События А,В, С попарно независимы.
Вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы раз, если произошло или А, или В, или С, т.е. произошло событие А+В+С, определим «через отрицание».
Тогда  1- 0,2³ = 0,992,
т.к. одновременно происходят события ,  ,  , т.е.   , где событие  - «мишень не будет поражена».
В бланк ответов: 0,992
|
Формула сложения вероятностей для несовместных событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Суммой событий А и В называют событие А+В, состоящее в появлении либо события А, либо только события В, либо и события А и события В одновременно.
Пример 38.
В6.В ящике 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий?
Решение:
Пусть А – «вынут красный шар»: Р(А) =  ,
В – «вынут синий шар»: Р(А) =  ,
С – «шар красный или синий».
Используя формулу сложения вероятностей несовместных событий, получим:
Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,4+0,1=0,5.
В бланк ответов: 0,5
|
Пример 39.
| В6.На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение: Пусть А – «вопрос на тему «Вписанная окружность»», В – «вопрос на тему «Параллелограмм»», С – «вопрос по одной из этих двух тем» По условию задачи вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет, т.е. события А и В несовместны. Используя формулу сложения вероятностей несовместных событий, получим: Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,2+0,15=0,35. В бланк ответов: 0,35 |
Пример 40.
В6. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрела. Найти вероятность того, что мишень будет поражена ровно один раз.
Решение:
Пусть А – «мишень поражена при первом выстреле», В – «мишень поражена при втором выстреле», С - «мишень поражена при третьем выстреле». Тогда - промах. По условию Р(А) = 0,8, значит, Р( ) =1 – 0,8 = 0,2. События А,В, С попарно независимы.
Вероятность того, что мишень будет поражена ровно один раз, есть сумма трех событий:  - «попал только первый выстрел»,  - «попал только второй выстрел»,  - «попал только третий выстрел». Т.к. эти три события попарно несовместны, то получаем:
Р( + + ) = Р( ) + Р ()+ Р ()= =0,8∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,2+0,2∙0,2∙0,8 = 3∙0,8∙0,2²=0,096.
В бланк ответов: 0,096
|
Формула сложения вероятностей:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В).
Произошло событие или А, или В, т.е. произошло событие А+В.
Пример 41.
| В6.Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов). Решение: Пусть А – «стрелок попал в мишень при первом выстреле», В - «стрелок попал в мишень при втором выстреле». По условию задачи произошли события или А, или В, т.е. произошло событие А+В. Значит, вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов), т.е. мишень будет поражена хотя бы один раз, по формуле вероятности суммы двух независимых событий равна: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В) = 0,6 + 0,6 – 0,6 ∙ 0,6 = 1,2 – 0,36 = 0,84. В бланк ответов: 0,84 |
Пример 42.
В6. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,7 и 0,4 соответственно. Найти вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз.
Решение:
Пусть А – «первый стрелок попал в мишень», В – «второй стрелок попал в мишень». По условию Р(А) = 0,7, Р(В) =0,4, а А и В независимы.
в) Вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна:
 =0,7+0,4 - 0,28=0,82,
т.к. произошло событие или А, или В, т.е. произошло событие А+В.
В бланк ответов: 0,82
|
Пример 43.
| В6.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение:
Пусть А – «кофе закончится в первом автомате»,
В – «кофе закончится во втором автомате»,
С – «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов»,
– «кофе останется в обоих автоматах»,
По условию задачи Р(А) = Р(В) = 0,3 и Р(А·В) = 0,12.
Используя формулу сложения вероятностей, получим, что вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном из автоматов:
Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятностьтого, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах, равна: Р()=1 – 0,48 = 0,52.
В бланк ответов: 0,52
|
Формула произведения вероятностей для независимых событий:
Р(А·В) = Р(А)∙Р(В).
События А и В называются независимыми, если Р(А·В) = Р(А)∙Р(В).
Произведением события А и В называется событие А·В, состоящее в появлении и события А и события В.
Одновременно произошли оба события А и В, т.е. произошло событие А·В.
Пример 44.
В6. Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что оба раза выпадет число 5? Ответ округлите до сотых.
Решение:
Пусть А – «первый раз выпадет 5»: Р(А) =  ,
В – «второй раз выпадет 5»: Р(В) = , а А и В независимы.
Вероятность того, что оба раза выпадет число 5, равна:
Р(А·В)=Р(А)Р(В)=  .
т.к. одновременно произошли оба события А и В, т.е. произошло событие А·В.
В бланк ответов: 0,03
|
Пример 45.
В6. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».
Решение:
Эта задача аналогична задаче: «Монету бросаем трижды. Какова вероятность того, что трижды выпадет решка?».
Пусть А – «первый раз выпадет решка»: Р(А) =  (у монеты 2 стороны, каждый раз, например, выпадет решка).
В – «второй раз выпадет решка»: Р(В) = ,
С – «третий раз выпадет решка»: Р(С) = , а А,В и С независимы.
Вероятность того, что трижды выпадет решка, равна:
Р(А·В·С)=Р(А)Р(В)Р(С)=  .
т.к. одновременно произошли три события А,В и С,
т.е. произошло событие А·В·С. В бланк ответов: 0,125
|
Пример 46.
| В6. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишеньбудет поражена дважды. Решение: Пусть А – «первый стрелок попал в мишень», В – «второй стрелок попал в мишень». По условию Р(А) = 0,9, Р(В) =0,3, а А и В независимы. Вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна: Р(А·В)=Р(А)Р(В)= 0,9 ∙ 0,3 = 0,27, т.к. одновременно произошли оба события А и В, т.е. произошло событие А·В. В бланк ответов: 0,27 |
Пример 47.
В6.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение:
Пусть А – «стрелок попал в мишень при первом выстреле»,
В – «стрелок попал в мишень при втором выстреле»,
С – «стрелок попал в мишень при третьем выстреле»,
D – «стрелок промахнулся при четвертом выстреле»,
E – «стрелок промахнулся при пятом выстреле»,
F –«биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся»
По условию задачи Р(А)=Р(В)=Р(С)=0,8, значит, Р(D)=Р(Е)= 1 - 0,8. Используя формулу умножения вероятностей независимых событий, получим:
Р(F) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,83∙ 0,22 =0,512 ∙ 0,04 = 0,02048  0,02.
В бланк ответов: 0,02
|
Пример 48.
| В6.В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение:
Пусть А – «хотя бы один автомат исправен», – «оба автомата неисправны».
Используя формулу умножения вероятностей независимых событий, получим:
Р() = 0,05∙0,05 = 0,0025.
Значит, вероятность того, что хотя бы один автомат исправен, по формуле вероятности противоположного события равна: Р(А) = 1 – Р() = 1 – 0,0025 = 0,9975.
В бланк ответов: 0,9975
|
Пример 49.
В6. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,8 и 0,6 соответственно. Найти вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу.
Решение:
Пусть А – «первый стрелок попал в мишень», В – «второй стрелок попал в мишень». По условию Р(А) = 0,8, Р(В) =0,6, а А и В независимы. Вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна:  = (1-0,8)(1-0,6)=0,2 ∙ 0,4 = 0,08,
т.к. одновременно произошли события и , т.е. произошло событие  .
В бланк ответов: 0,08
|
Пример 50.
| В6. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрела. Найти вероятность того, что мишень будет поражена трижды. Решение: Пусть А – «мишень поражена при первом выстреле», В – «мишень поражена при втором выстреле», С - «мишень поражена при третьем выстреле». По условию Р(А) = Р(В) = Р(С) = 0,8. События А, В, С попарно независимы. Вероятность того, что мишень будет поражена трижды, равна: Р(А·В·С)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,8³ = 0,512, т.к. одновременно произошли события А, В и С, т.е. произошло событие А·В·С. В бланк ответов: 0,512 |
Пример 51.
В6. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрела. Найти вероятность того, что мишень не будет поражена.
Решение:
Пусть А – «мишень поражена при первом выстреле», В – «мишень поражена при втором выстреле», С - «мишень поражена при третьем выстреле». Тогда - промах. По условию Р(А) = 0,7, значит, Р( ) =1 – 0,7 = 0,3. События А,В, С попарно независимы.
Вероятность того, что мишень не будет поражена, равна:
 = (1-0,7)³=0,3³ = 0,027,
т.к. одновременно произошли события , и , т.е. произошло событие .
В бланк ответов: 0,027
|
Формула умножения вероятностей:
Р(А·В) = Р(А)∙Р(В|А),
где Р(В|А) – условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.
В примерах 52-55 мы имеем дело с вероятностью событий при условии наступления предшествующих событий. Например, в примере 52 мы рассматривали событиеGпри условии, что наступило событие В. Такие вероятности называются условными вероятностями.
Date: 2016-05-13; view: 819; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |