Пример выполнения задачи 14

Условие.

Задание 1. По данному графику функции плотности распределения вероятности случайной величины Х (см. рис.1.):

а) определите математическое ожидание случайной величины Х а_х, среднее квадратическое отклонение , медиану М_е, моду М_о и вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) постройте график функции распределения случайной величины F(X).

Задание 2. По данному графику функции распределения случайной величины Х (см. рис.2.):

а) определите математическое ожидание случайной величины Х а_х, среднее квадратическое отклонение , медиану М_е, моду М_о и вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) постройте график функции плотности распределения случайной величины f(X).

,

Рис.1.

Рис.2.

Решение задания 1. а) Математическое ожидание это среднее значение, которое принимает случайная величина. Поэтому, по рисунку 1 определяем центр масс функции под графиком. Абсцисса этой точки и есть математическое ожидание. .

По правилу трёх сигм имеем: . Значит .

Медиана случайной величины определяется условием: . Вертикальная прямая, делящая площадь фигуры под графиком проходит через точку с абсциссой 1, поэтому .

Мода это наивероятнейшее число. В данном примере имеем двухмодальный случай: .

, где - число клеток, определяющее площадь фигуры на интервале ; - число клеток, определяющее общую площадь фигуры. .

б) Для построения графика функции будем использовать таблицу 1 связи плотности и функции распределения случайной величины:

Таблица 1

возрастает	выпукла
убывает	вогнута
постоянна	аффинная

а также свойства этих функций. Функция непрерывна на всей числовой прямой и:

выпукла на ;

выпукла на ;

вогнута на ;

выпукла на ;

вогнута на .

График функции распределения случайной величины изображён на рисунке 4.

Решение задания 2. а) По рисунку 2 случайная величина принимает все свои значения на отрезке и чаще всего на отрезке , поэтому среднее значение равно 1. Значит .

.

, значит .

В точке 1 функция имеет перегиб, значит . В каждой точке отрезка тоже перегиб, значит .

.

б) Для построения графика функции будем использовать таблицу 1, а также свойства плотности и функции распределения случайной величины.

На возрастает, поэтому фигура под графиком будет иметь вид треугольника с высотой равной значению предела функции в точке 1слева. Площадь треугольника равна , поэтому .

На убывает, поэтому фигура под графиком будет иметь вид треугольника с высотой равной значению предела функции в точке 1справа. Площадь треугольника равна , поэтому , а .

На постоянна, поэтому фигура под графиком будет иметь вид прямоугольника с высотой равной значению функции на . Площадь прямоугольника равна , поэтому на .

График плотности распределения случайной величины изображён на рисунке 5.