Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

y′′+py′+q=0,

где p,q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

k2+pk+q=0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

· Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D>0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

y(x)=C1ek1x+C2ek2x,

где C1 и C2 − произвольные действительные числа.

· Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D=0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

y(x)=(C1x+C2)ek1x.

· Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D<0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1=α+βi,k2=α−βi. Общее решение записывается в виде

y(x)=eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)].

Структура общего решения

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

y′′+py′+qy=f(x),

где p,q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

y′′+py′+qy=0.

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x)соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:

y(x)=y0(x)+y1(x).

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

y0(x)=C1Y1(x)+C2Y2(x).

Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

y=C1(x)Y1(x)+C2(x)Y2(x)

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).

Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяются из системы двух уравнений:

{C′1(x)Y1(x)+C′2(x)Y2(x)=0C′1(x)Y′1(x)+C′2(x)Y′2(x)=f(x).

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

f(x)=Pn(x)eαx;

f(x)=[Pn(x)cos(βx)+Qm(x)sin(βx)]eαx, где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m,соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида

Pn(x)eαxи/или[Pn(x)cos(βx)+Qm(x)sin(βx)]eαx,

то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.