Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. 
, то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f(x) в точке a.
Если a=0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
86.Разложение в ряд Маклорена функций ln(1+x), cos x.
1. ln(1+x)
Если 
, то 
, 
, 
, и по формуле 
) находим
или
Заменяя в формуле 
на 
, получаем
или
.
2. cos x., 
– четная функция, 
, и по формуле 
получаем
или
.
Разложение в ряд Маклорена функций cos x.
Находим последовательно производные от f(x) = cos x.
При x = 0 получаем
Следовательно, формула Маклорена для функции cos x имеет вид
Так как 
, то
для любого фиксированного вещественного числа x. Таким образом, значения функции cos x могут быть найдены приближенно по формуле
87. Разложение в ряд Маклорена функций ex, sin x.
1. Разложение функции f(x)=ex в ряд Маклорена.
f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.
f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…= 1.
Составим для функции f(x)=ex формально ряд Маклорена: 1+ 
.
Найдём области сходимости этого ряда.
при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то 
при любых х и тем более 
при любых х. Так как f(n+1)(x)=ex и f(n+1)(с)=eс, то 
=ec 
=0. Таким образом, имеет место разложение при x 
(-∞;+∞)
ex =1+ .
2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.
Вычислим производные данной функции.
f′(x)=cosx=sin(x+ 
), f″(x)=-sinx=sin(x+ 
),
f″′(x)=-cosx=sin(x+ 
), f(4)(x)=sinx=sin(x+ 
), …, f(n)(x)=sin(x+ 
), …. Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f(4)(0)=0, …, f(2n-1)(0)=(-1)n-1, f(2n)(0)=0.
Исследуем остаточный член ряда.
|Rn(x)|= = 
так как |sin(c+(n+1) |≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем 
следовательно, 
и 
.
областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞):
sinx=x- 
.
Date: 2016-01-20; view: 678; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |