Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Простейшие уравнения, допускающие понижения порядка.

Уравнение вида

Называется простейшим дифференциальным уравнением ДУ 2-порядка. Общий интеграл задается формулой

.

Дифференциальные уравнения второго порядка (n=2),не содержащие в явном виде искомой функции у

Для решения ДУ вида

.

Выполняется следующая последовательность

действий:

· Понижается порядок ДУ на единицу с помощью замены , которая проводит к ДУ первого порядка

· Решается полученное ДУ первого порядка относительно z;

· Обратная замена в найденное решение приводит к простейшему ДУ первого порядка.

· Решается полученное ДУ первого порядка, находится решение

Дифференциальные уравнения 2- го порядка не содержащие в явном виде независимой переменной x.

Способ решения ДУ вида:

состоит в понижении порядка на единицу с помощью замены . В этом случае за независимую переменную примем y. Тогда y=y(x) - искомая функция. При этом находятся по формулам дифференцирования сложной функции и произведения функций:

Для решения ДУ такого вида рекомендуется следующий порядок действий.

· Понижается порядок ДУ на единицу с помощью замены: которая приводит его к ДУ первого порядка .

· Решается полученное ДУ первого порядка относительно p.

· Обратная замена в найденное решение приводит вновь к ДУ первого порядка.

· Решается полученное ДУ первого порядка, находится общее решение или общий интеграл.