Решение. Имеем: x = 0 — ось Оу, y = 3 − x - прямая, y = 2x - прямая. X Y X Y

Имеем: x = 0 — ось Оу,

Угловые точки области: 0(0; 0), A(0; 3), B(1; 2) лучше проектировать на ось Ох: получим две проекции:

в отношении оси Ох область D — правильная она задается одной системой неравенств:

(y_в(x) и y_н(x) находим с помощью линии входа - выхода).
Поэтому двойной интеграл запишется через повторный кратный так:

Ответ: I = −1,5.

Приложения двойного интеграла

1. Вычисление площадей

2. Вычисление объёмов тел

Пусть тело V ограничено (рис. 2.12) сверху — только одной поверхностью
z = z_в(x; y); снизу — только одной поверхностью z = z_н(x; y). Линия L пересечения этих поверхностей проектируется в границу Г области D, на которой заданы непрерывные функции
z = z_в(x; y), z = z_н(x; y).

При этих условиях:

Доказательство формулы (2.17) легко провести на основе геометрического смысла двойного интеграла.