Частные производные первого порядка

рассматрим функцию трех независимых переменных. Пусть в некоторой трехмерной области V задана функция u=f(x,y,z) переменных x,y,z и пусть M₀(x₀,y₀,z₀) - некоторая внутренняя точка V. Дадим независимому переменному x приращение Δx=x-x₀, тогда функция и получит так называемое частное приращение по x:

Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M₀(x₀,y₀,z₀) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М₀ и обозначается одним из символов:

По определени

Частные производные по y и по z определяются аналогично:

Производные f'_x, f'_y, f'_z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными.