Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка

функцию с переменными sin х и cos х, над ко­торыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin х: cos х), где R — знак рациональной функции. Вычисление неопределенных интегралов типа J R( sin х; cos х) dx сводится к вычислению интегралов от рациональной функции под­становкой tg ^X/₂= t, которая называется универсальной. На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частно­сти, удобны следующие правила:

1.если функция R(sin x; cos x) нечетна относительно sin x:, т.е. R(— sin х; cos х) = —R(sinx; cos x), то подстановка cos x= t рационали­зирует интеграл;

2.если функция R( sinx; cosx) нечетна относительно cosx, т.е. R( sinx; - cosx) = —R(sinx; cosx), то делается подстановка sinx = t;

3.если функция R( sinx; cosx) четна относительно sinx и cosx R(— sinx; — cosx) = R{ sinx; cosx), то интеграл рационализируется под­становкой tg х = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид J (tgx)dx.

54. Интегрирование простейших иррациональных функций. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную. Интеграл вида ∫R d x, где n – натуральное число. С помощью подстановк = t функция рационализируется. ax+b/ cx+d=tⁿ; x= tⁿ –b/ a-ctⁿ; dx=(tⁿ-b/ a-ctⁿ)' dt. Тогда ∫R d x=∫R(tⁿ –b/ a-ctⁿ)(tⁿ-b/ a-ctⁿ)' dt= ∫ r(t)dt.