Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Функциональные ряды. Равномерная сходимостьПусть – последовательность функций с общей областью определения (D). Выражение (2) называется функциональным рядом. Если зафиксировать значение , то ряд (2) становится числовым. Совокупность всех , для которых ряд (2) сходится, называется областью сходимости ряда. Суммы и называются соответственно n-й частичной суммой и n-м остатком ряда (2). Говорят, что ряд (2) сходится поточечно (или просто сходится) к функции на множестве (D), если для любого . Ряд (2) называется равномерно сходящимся к функции на множестве (D), если для любого положительного числа ε существует число , такое что (то есть ) для любого . Теорема 1 (Вейерштрасс). Пусть – последовательность положительных чисел, удовлетворяющая двум условиям: 1) для любого и любого ; 2) ряд сходится. Тогда ряд (2) сходится равномерно на множестве (D). Доказательство. Пусть ε – произвольное положительное число. Возьмем настолько большим, чтобы для любого выполнялось неравенство . Тогда для любого и любого будет справедливо неравенство . Ввиду произвольности отсюда следует равномерная сходимость ряда (2). Числовой ряд , участвующий в этой теореме, называется мажорирующим рядом или мажорантой. Теорема 2. Если функции непрерывны и ряд (2) сходится в (D) к функции равномерно, то функция также непрерывна в (D). Доказательство. Пусть и произвольны. Найдется такое , что для любого и любого будет выполняться неравенство . Из непрерывности следует, что существует такое , при котором как только . Тогда для любого z, удовлетворяющего неравенству и любого справедлива цепочка соотношений что и доказывает теорему. Теорема 3. В условиях теоремы 2 ряд (2) можно интегрировать почленно вдоль любой линии (Γ), лежащей в (D): . Доказательство. Пусть произвольно. Ввиду равномерной сходимости ряда (2) к существует такое , что для всех и для любого . Тогда для таких n , где l – длина линии (Γ). А так как при , то теорема доказана. Оказывается, равномерно сходящиеся ряды при некотором ограничении допускают и почленное дифференцирование. Приведем без доказательства следующий результат. Теорема 4. Пусть функции аналитичны в области (D) и ряд (2) сходится к функции равномерно в (D). Тогда также аналитична в (D) и при этом , то есть ряд (2) можно дифференцировать почленно сколь угодно раз.
|