Теорема Коши для односвязной и многосвязной области

Теорема 1. Пусть аналитична в односвязной области (D) и (Γ) – граница области (D). Тогда

.

Доказательство. Согласно формулу (1),

.

Так как аналитична, то для нее выполнены условия Коши-Римана

Из теории криволинейных интегралов известно, что первое условие обращает в 0 первый интеграл, второе – второй, следовательно, теорема доказана.

Эта теорема допускает обобщение и на более сложные области.

Теорема 2. Пусть аналитична в (D) – -связной области, (Γ) – внешняя граница области, охватывающая контуры , , …, , границей области является . Тогда

, (2)

где обход вдоль каждого контура ведется в положительном направлении, то есть движение вдоль контура осуществляется так, чтобы ближайшие точки области оставались слева от направления движения (на приведенном рисунке движение по (Γ) осуществляется против часовой стрелки, а вдоль , , …, – по часовой стрелке).

Доказательство. Приведем доказательство для случая трехсвязной области. Отметим точки A, B, C, E, F, G, H, K, M, N как показано на рисунке, при этом возьмем достаточно близкими друг к другу пары А и С, N и Е, G и K; и проведем достаточно узкие каналы CENA и FGKM. Если из трехсвязной области (D) вырезать эти каналы, то получится односвязная область (D ´), и, согласно теореме 1,

.

Воспользуемся свойством 2) интеграла:

Теперь устремим точку С к точке А, точку N – к точке Е, M – к F, K – к G, а ширину каналов – к 0. Тогда

,

,

откуда следует

,

и в пределе получим равенство

,

или

,

что и требовалось доказать.

Общий случай разбирается аналогично.

Теоремы 1 и 2 справедливы и в том случае, когда аналитична в области (D) и непрерывна в .

Следствие. В условиях теоремы 2

, (2´)

где все обходы контуров совершаются против часовой стрелки.

Путем, соединяющим точки А и В, в области (D) назовем непрерывную линию без самопересечений в (D), соединяющую точки А и В. Пути и с общими концами в (D) назовем гомотопными, если один из них можно перевести в другой непрерывной деформацией, не выходя за пределы области (D).

Аналогично: ориентированные контуры и без самопересечений называются гомотопными, если один из них путем непрерывной деформации удается перевести в другой, не покидая пределов области (D) и с сохранением ориентации.

Из теоремы 1 вытекает следующий результат.

Теорема 3. Если аналитична в области (D) и , гомотопны в (D), то

.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда и – гомотопные пути, соединяющие точки А и В. Будем считать, что и не пересекаются (иначе приводимые ниже рассуждения придется проводить многократно). Поскольку аналитична внутри контура, то, согласно теореме 1,

,

или

,

откуда следует требуемое равенство .

Пусть теперь и – гомотопные контуры, причем лежит внутри и их ориентации совпадают. Проведем достаточно узкий канал BCGH, как показано на рисунке. Функция аналитична в области, ограниченной контуром ABCFGH, и, согласно теореме 1,

.

Отсюда

.

Неограниченно сужая канал, приходим к соотношениям

,

и в пределе получим

,

или

.

Если контуры и не имеют общих точек и один из них не охватывает другой, то либо внутри этих контуров аналитична, и, по теореме 1,

,

либо по крайней мере внутри одного из контуров имеется точка неаналитичности (особая точка) и эти контуры негомотопны.

Мы оставили без рассмотрения случай, когда контуры пересекаются – он сводится к уже рассмотренным.