Интегральная формула Коши

Теорема 4. Пусть функция аналитична в ограниченной замкнутой односвязной области (D) и пусть (Γ) – граница (D). Тогда для любой точки z, лежащей внутри (D), справедливо равенство

, (3)

где обход вдоль (Γ) ведется в положительном направлении.

Доказательство. Пусть (γ) – окружность достаточно малого радиуса r с центром в точке z. Так (Γ) и (γ) гомотопны, то для функции , аналитичной во всей области (D), за исключением точки z, справедливы равенства

Осталось доказать, что первое слагаемое в последнем выражении равно 0. Зададим произвольное достаточно малое число . Ввиду непрерывности можно подобрать число так, чтобы при любом и для любого выполнялось неравенство . Тогда для таких r

Получается, что для любого можно подобрать r настолько малым, что будет выполняться неравенство

.

Однако этот интеграл не зависит от r ввиду того, что все окружности достаточно малого радиуса гомотопны между собой, а это возможно лишь в том случае, если интеграл равен 0:

.

Это и доказывает формулу (3).

Небольшая модификация доказательства позволяет установить справедливость (3) и для многосвязной области.

Формулу (3), имеющую многочисленные следствия, называют формулой Коши. Замечательность ее состоит в том, что задание функции на границе (Γ) области (D) определяет ее однозначно во всей области (D).

Пример 1. Вычислить: а) ; б) .

Решение. а) Функция аналитична в круге . Поэтому можно воспользоваться формулой Коши (3):

.

б) Функция аналитична в круге . Следовательно, согласно формуле (3),

.