Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-ЛейбницаФункция называется первообразной для аналитической функции , если . Если – первообразная для аналитической функции , то также будет первообразной для . До некоторой степени верно и обратное утверждение. Утверждение. Если и – две первообразные для функции , аналитической в связной области (D), то , где С – постоянная величина. Доказательство. Пусть . Тогда , то есть , . Согласно условиям Коши-Римана, это влечет , . Все это в совокупности означает, что , , то есть . Таким образом, совокупность всех первообразных функции , аналитической в связной области (D), имеет вид , где – некоторая (фиксированная) первообразная для , а C – постоянная величина. Эта совокупность называется неопределенным интегралом функции и обозначается : . Известные нам свойства неопределенного интеграла переносятся и на этот случай. Справедлива хорошо знакомая таблица интегралов: ; ; ; ; . Пусть функция аналитична в связной области (D). Рассмотрим функцию , где – фиксированная точка, а z – переменная величина, . Так как интеграл не зависит от линии, соединяющей точки и z (теорема 3), то функция определена корректно. Ее можно записать в виде . Теорема 8. Функция является первообразной для . Доказательство. Придадим переменному z приращение Δ z. Тогда функция получит приращение , и где t – некоторая точка отрезка, соединяющего точки z и . Отсюда . Теперь устремим Δ z к 0. Тогда и , что и означает . Теорема 9. Пусть аналитична в односвязной области (D) и – первообразная для . Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница . Доказательство. отличается от на постоянную величину: . Тогда . Учитывая, что , получим , откуда ; следовательно, . Пример. Вычислить , где , . Решение. Функция является первообразной для функции . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
|