Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная функции комплексного переменногоПусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменному z в этой точке приращение Δ z (достаточно малое, чтобы не вывести z за пределы области определения). Тогда функция получит приращение . Рассмотрим отношение . Устремим Δ z к нулю. Если существует конечный предел этого отношения при , то он называется производной функции в точке и обозначается : . Принято и другое обозначение производной: . Существование производной у функции комплексного переменного является более жестким ограничением и влечет за собой большие последствия, чем в случае функции действительного переменного. Дело в том, что в случае функции действительного переменного стремление к числу возможно только слева или справа, в случае же функции комплексного переменного стремление к числу возможно по разным направлениям, и для любого направления предел отношения должен быть один и тот же. Функция, имеющая производную в точке , должна быть непрерывной в этой точке. Действительно, при малых значениях Δ z , и правая часть стремится к 0 при . Пусть определена в некоторой окрестности точки ; придадим переменному z в этой точке приращение Δ z. Предположим, что существует число такое, что приращение функции представимо в виде , (1) где – бесконечно малая величина при , то есть . В таком случае говорят, что функция дифференцируема в точке , а линейную (главную) часть приращения функции называют дифференциалом функции и обозначают : . Теорема 1. Функция дифференцируема в точке в том и только в том случае, если она имеет производную в этой точке, при этом . Доказательство. Пусть дифференцируема в точке , то есть имеет место равенство (1). Разделим обе части (1) на Δ z: . Переходя к пределу при и учитывая, что , получим . Обратно, пусть существует . Обозначим . Тогда , и это приводит к равенству , то есть дифференцируема в точке . Теорема доказана. Таким образом, дифференцируемость функции и существование производной функции – равносильные требования. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием. Пусть . Возникает вопрос: какие ограничения накладывает дифференцируемость функции на ее составляющие и ? Ответ на этот вопрос дает следующая Теорема 2. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , дифференцируема в этой точке в том и только в том случае, если в этой точке выполнены следующие равенства, называемые условиями Коши-Римана: (2) (Предполагается, что функции и дифференцируемы.) Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке , то есть справедливо равенство (1), и пусть . Тогда , , , где , таковы, что , . Равенство (1) принимает вид , (3) или . (4) Приравнивая действительные и мнимые части выражений, приходим к системе (5) Из этих равенств следует, что поэтому получаем (6) откуда и следуют равенства (2). Обратно, пусть справедливы равенства (2). Тогда справедливы (последовательно) равенства (6), (5), (4) и (3), а последнее из них и говорит о дифференцируемости . Теорема доказана. Из доказательства теоремы 2 следует, что . Если функция дифференцируема в каждой точке области (D), то она называется дифференцируемой в области (D). Если функция дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки , то она называется аналитической в точке . Если функция является аналитической в каждой точке области (D), то она называется аналитической в области (D). Для дифференцируемых функций комплексного переменного справедливы те же правила дифференцирования, что и в вещественном случае (при этом они выводятся так же): ; ; ; ; (здесь С – постоянная величина). То же верно и для таблицы производных: ; ; ; ; . В частности, справедлив аналог формулы Лагранжа.
|