Два дополнения

1. Множество является расширением множества , при этом сохраняются все свойства операций сложения и умножения чисел в , связанные с равенствами (коммутативность по сложению и умножению, ассоциативность и т.д.). Возникает мысль о возможности дальнейшего расширения до еще более широкого множества с сохранением тех же свойств. Это, однако, оказывается невозможным (теорема Ф.Фробениуса). Другими словами, можно добиться расширения множества , но при этом придется пожертвовать некоторыми привычными свойствами операций сложения и умножения чисел.

2. Формула Эйлера требует некоторых комментариев. Есть несколько способов ее обоснования: 1) принять формулу как определение функции и доказать, что соблюдаются все известные свойства степени; 2) определить равенством , доказав, что существует конечный предел при любом , а затем, исходя из этого, вывести формулу Эйлера; 3) определить функцию комплексного переменного , , как сумму степенного ряда (о рядах будет сказано ниже)

и вывести формулу Эйлера, положив и использую известные разложения в ряд Тейлора функций и .