Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Действия над комплексными числамиСтр 1 из 23Следующая ⇒ I. Комплексные числа. Множества в комплексной плоскости. Действия над комплексными числами. Множеством комплексных чисел называют множество выражений вида , где х, y – действительные числа, i – символ, называемый мнимой единицей, на котором введены операции сложения и умножения по следующим правилам: 1) ; 2) . Из определения следует равенство . Совокупность всех комплексных чисел обозначается символом . Введенные операции сложения и умножения обладают всеми свойствами операций сложения и умножения на множестве всех действительных чисел. Два комплексных числа и считаются равными, если и . Если , то х называют действительной частью, а y – мнимой частью числа z и пишут , . Множество всех действительных чисел можно рассматривать как подмножество множества – это комплексные числа, мнимая часть которых равна 0. Разностью чисел и называют такое число , что , при этом пишут ; несложно убедиться, что . Частным от деления на называют корень уравнения ; при этом пишут . Деление возможно лишь в том случае, когда делитель отличен от 0. Докажем это. Пусть и . Требуется найти такое, что , или . Приравнивая действительные и мнимые части выражений, приходим к системе линейных уравнений (относительно х и y): Определитель этой системы , следовательно, эта система имеет единственное решение. Множество комплексных чисел отождествляют с множеством векторов или множеством точек на плоскости с заданной декартовой прямоугольной системой координат; при таком отождествлении плоскость называют комплексной плоскостью. Число называют модулем числа z и обозначают . Угол между вектором и положительным направлением оси ОХ называют аргументом числа z и пишут . Модуль числа определяется однозначно, а аргумент может принимать бесконечно много значений, которые отличаются друг от друга на , . Обычно договариваются о главном значении аргумента; как правило, берут или . Если и , то , где Если же , то Аргумент числа не определен. Из определения и следует, что откуда получаем . Последнее равенство называется тригонометрической формой комплексного числа z (в отличие от алгебраической формы ). Число называют сопряженным к числу , при этом пишут . Справедливы равенства: ; ; . Операция сопряжения удобна при проведении деления чисел: . Введем обозначение: . Это равенство называется формулой Эйлера. Применив формулу Эйлера к тригонометрической форме числа, приходим к равенству ; это есть показательная форма числа z. В частности, , . Справедливы равенства: ; ; ; (равенства, связанные с , понимаются с точностью до ). Тригонометрическая и показательная формы удобны при проведении операций умножения и деления комплексных чисел. Из выше перечисленных свойств следует формула Муавра в тригонометрической форме и показательной форме . Число называется корнем n-й степени из числа , если . Любое отличное от 0 число имеет ровно n различных корней степени n; их находят по формулам , где k пробегает значения 0, 1, 2, …, ; – арифметический корень n -й степени из числа ρ. Модуль разности чисел и равен расстоянию между точками и комплексной плоскости. Пример 1. Выполнить действия: . Решение. Представим числа , , в показательной форме. Отсюда находим: Такова показательная форма числа z. В тригонометрической форме результат имеет вид Пример 2. Извлечь корень . Решение. Представим число в тригонометрической форме: Тогда: , где Отсюда находим четыре корня: или Пример 3. Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям: а) ; б) ; в) Решение. а) Перепишем уравнение в виде . Это уравнение окружности радиуса 1 с центром в точке . б) Перепишем двойное неравенство в виде . Величина выражает расстояние от точки z до точки . Таким образом, двойное неравенство определяет кольцо с центром в точке , внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 3; при этом внутренняя окружность не принадлежит множеству, а внешняя принадлежит. в) Первое условие задает кольцо с центром в точке , второе – угол, сторонами которого являются лучи и . В результате получаем сектор кольца.
|