Теорема Паскаля и ее предельные случаи

Определение: Шестивершинником называется совокупность шести различных упорядоченных точек А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, и прямых (А₁А₂), (А₂А₃), (А₃А₄), (А₄А₅), (А₅ А₆), (А₆А₁). Точки называются вершинами, прямые называются сторонами.

Определение: Пары прямых:

(А₁ А₂) и (А₄ А₅),

(А₂ А₃) и (А₅ А₆),

(А₃ А₄) и (А₆ А₁) - называются противоположными сторонами.

Определение: Шестивершинник называется вписанным в овальную квадрику (или паскалевым), если его вершины принадлежат квадрике. Иногда говорят – шестивершинник, инцидентный квадрике.

Теорема Паскаля. Для того чтобы шестивершинник был инцидентен квадрике необходимо и достаточно, чтобы противоположные стороны шестивершинника пересекались в трех точках инцидентных одной прямой.

Замечание: Другая формулировка теоремы: для того чтобы шестивершинник был паскалевым необходимо и достаточно, чтобы противоположные стороны пересекались в коллинеарных точках.

А₁ , А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ КВП P, Q, R – коллинеарны, где

(А₁А₂)∩(А₄А₅)= P

(А₂А₃)∩(А₅А₆)= Q

(А₃А₄)∩(А₆А₁)= R

Доказательство. Пусть даны шесть точек А₁ , А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ инцидентных квадрике, среди которых никакие три не коллинеарны.

Обозначим: (А₁А₂)∩(А₄А₅)= P,

(А₂А₃)∩(А₅А₆)= Q,

(А₃А₄)∩(А₆А₁)= R.

Через пять точек всегда проходит единственная квадрика.

Докажем, что принадлежность точки А₆ квадрике коллинеарности точек P, Q, R.

Рассмотрим репер R (А₁, А₂, А₃, А₄), пусть в этом репере точки А₅ и А₆ . Тогда уравнение квадрики: с₃ ∙(с₂ - с₁) ∙х₁∙х₂ + с₂ ∙(с₁ - с₃) ∙х₁∙х₃ + с₁ ∙(с₃ - с₂) ∙х₂∙х₃ =0.

Точка А₆ КВП с₃ ∙(с₂ - с₁) ∙d ₁ ∙d ₂ + с₂ ∙(с₁ - с₃) ∙d ₁ ∙d ₃ + с₁ ∙(с₃ - с₂) ∙d ₂ ∙d ₃ =0.

Найдем координаты точек P, Q, R в репере R (А₁, А₂, А₃, А₄).

Так как точки А₁, А₂, А₃ - базисные, то уравнения координатных

прямых будут: (А₁А₂) - х₃= 0, (А₁А₃) - х₂= 0, (А₂А₃) - х₁= 0.

Уравнения прямых:

(А₃А₄) → =0 - х₁ + х₂ = 0,

(А₄А₅) → =0 (с₂ – с₃) ∙х₁ +(с₃ – с₁) ∙х₂ +(с₁- с₂) ∙х₃ =0,

(А₅А₆) → =0

(с₂∙d₃ – с₃∙d₂) ∙х₁ + (с₃∙d₁ – с₁∙d₃) ∙х₂ + (с₁∙d₂ - с₂∙d₁) ∙х₃ = 0,

(А₆А₁) → =0 - d₃∙х₂ + d₂∙х₃ = 0,

Р= (А₁А₂) ∩ (А₄А₅) →

Q =(А₂А₃) ∩ (А₅А₆) →

R= (А₃А₄) ∩ (А₆А₁) → .

Тогда координаты точек P , Q , R .

Запишем условие коллинеарности точек: =0

d₂ ∙(с₂ - с₃)∙(с₃ d₁-с₁ d₃) -d₂ ∙(с₁ - с₃)∙(с₃ d₁-с₁ d₃)+ d₃ ∙(с₁ - с₃)∙(с₂ d₁-с₁ d₂)=

= d₂ ∙(с₃ d₁ - с₁ d₃)∙(с₂ - с₃ - с₁ + с₃) + d₃ ∙(с₁ - с₃)∙(с₂ d₁ - с₁ d₂) = d₂ ∙(с₃ d₁ - с₁ d₃)∙(с₂- с₁)+ d₃ ∙(с₁ - с₃)∙(с₂ d₁ - с₁ d₂)=

d₂ ∙ с₃ d₁ ∙ с₂ - d₂ ∙ с₁ d₃ ∙ с₂ – d₂ ∙ с₃ d₁ ∙ с₁ + d₂ ∙ с₁ d₃ ∙ с₁ + d₃ ∙ с₁ ∙ с₂ d₁ – d₃ ∙ с₃ ∙ с₂ d₁ - d₃ ∙ с₁ ∙ с₁ d₂ + d₃ ∙ с₃ ∙ с₁ d₂ =

= d₂ ∙ d₁ ∙(с₃ ∙ с₂ - с₃ ∙ с₁) - d₂ ∙ d₃ ∙(с₁ ∙ с₂ - с₃ ∙ с₁) + d₃ ∙ d₁ ∙(с₁ ∙ с₂ - с₃ ∙ с₂) =

= d₂ ∙ d₁ ∙ с₃ ∙(с₂ -с₁) + d₂ ∙ d₃ ∙ с₁ ∙(- с₂+с₃)+ d₃ ∙ d₁ ∙ с₂ ∙(с₁ - с₃) =0.

Т.о. условие коллинеарности точек P,Q,R условию А₆ КВП. □

Замечание: Частным случаем теоремы Паскаля является теорема Паппа.