Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости

Рассмотрим расширенную евклидову плоскость Р₂ и однородный репер R (Е_1∞, Е_2∞, Е₃, Е).

В этом случае связь между проективными и аффинными координатами будет выражаться формулами: х = и у = .

Для собственных точек плоскости координата х₃ ≠0, для несобственных - х₃ =0.

Пусть дана прямая и: и₁ х₁+ и₂ х₂+ и₃ х₃ = 0.

Прямая содержит только одну несобственную точку U_∞ (проверьте!)

Все остальные точки собственные, тогда мы можем разделить уравнение прямой на х₃ ≠ 0,

получим: и₁ + и₂ + и₃= 0 и₁ х + и₂ у + и₃= 0 – общее уравнение прямой на евклидовой плоскости с направляющим вектором ā (и₂; - и₁) (сравнить с координатами несобственной точки).

Как известно, если две прямые параллельны, то их направляющие вектора коллинеарны:

ā (и₂; - и₁) || (λ и₂; - λ и₁). Тогда несобственная точка второй прямой будет иметь координаты:

= = U_∞ - это означает, что параллельные в евклидовом смысле прямые пересекаются в несобственной точке. На евклидовой плоскости таких точек нет, а значит параллельные в евклидовом смысле прямые не пересекаются на евклидовой плоскости, но пересекаются на проективной плоскости.

Пусть дана квадрика: q₁₁ ∙ х₁ ² +q₂₂ ∙ х₂ ² +q₃₃ ∙ х₃ ² + 2 ∙ q₁₂ ∙ х₁ ∙ х₂ +2 ∙ q₁₃ ∙ х₁ ∙ х₃ +2 ∙ q₂₃ ∙ х₂ ∙ х₃ =0.

Разделим уравнение КВП на х₃ ² ≠ 0, получим:

q₁₁ ∙ +q₂₂ ∙ +q₃₃+ 2 ∙ q₁₂ ∙ ∙ +2 ∙ q₁₃ ∙ +2 ∙ q₂₃ ∙ =0

q₁₁ ∙ х ² + 2 ∙ q₁₂ ∙ х ∙ у + q₂₂ ∙ у ² + 2 ∙ q₁₃ ∙ х + 2 ∙ q₂₃ ∙ у + q₃₃ =0 – общее уравнение КВП на евклидовой плоскости.

Как известно тип КВП на евклидовой плоскости определяется инвариантом

J₂ = = q₁₁ ∙ q₂₂ - q₁₂ ².

J₂>0 – эллиптический, J₂<0 – гиперболический, J₂=0 – параболический типы.

Найдем несобственные точки квадрики.

Это точки для которых х₃ = 0.

Так все три координаты х₁, х₂, х₃ одновременно не обращаются в 0, то хотя бы одна х₁ или х₂ не равны 0. Пусть это будет х₂ ≠ 0. Разделим второе уравнение системы на х₂ ²≠ 0:

q₁₁ ∙ + 2 ∙ q₁₂ ∙ + q₂₂ = 0 – квадратное уравнение. D= q₁₂ ² - q₁₁ ∙ q₂₂ = - (q₁₁ ∙ q₂₂ - q₁₂ ²) = - J₂

Таким образом, у линии эллиптического типа нет несобственных точек, у линии параболического типа одна несобственная точка –

, у линии гиперболического типа _- - несобственные точки.

Задача. Найдите несобственные точки гиперболы и параболы, заданных каноническими уравнениями.

Решение. Парабола: у ² = 2∙ р∙х, перейдем к проективным координатам:

= 2 ∙ р ∙ |× х₃ ² х₂ ² - 2 р х₁ ∙ х₃ = 0.

Найдем несобственные точки квадрики:

х₂ ² = 0 решение системы =Е_1∞.

Матрицей квадрики будет - Q = .

Найдем поляру несобственной точки:

= - р∙ х₃ = 0

х₃ = 0 – несобственная прямая (Е_1∞ Е_2∞).

Так как несобственная точка принадлежит квадрике, то поляра является касательной.

Для гиперболы - самостоятельно.

Определение: Асимптотой квадрики называется касательная в несобственной точке.

Таким образом, у эллипса нет асимптот (нет пересечения с несобственной прямой) у параболы одна асимптота – несобственная прямая у гиперболы две асимптоты.

Как известно эллипс и гипербола являются центральными линиями. Центр квадрики обычно определяется как точка, в которой делятся пополам все проходящие через нее хорды.

Будем рассматривать хорды не как отрезки, а как прямые.

Фиксируем какую-либо хорду, если центр – середина, тогда четвертая гармоническая точка будет несобственной и с силу гармонизма она будет принадлежать поляре центра. Но так как центр – середина для любой хорды, проходящей через центр, тогда поляра будет состоять из несобственных точек. Это дает основание для следующего определения:

Определение: Центром КВП называется полюс несобственной прямой.

Так как полюс находится по формуле: μ ∙ А= Q ^-1 ∙ а ^Т, тогда центр - μ ∙ А= Q ^-1 ∙ (0 0 1)^Т = Q ^-1 ∙ .

На евклидовой плоскости диаметром КВП является хорда, проходящая через середины параллельных хорд. Но все параллельные прямые пересекаются в несобственной точке. Т.о. середины параллельных хорд гармонически сопряжены с этой несобственной точкой, а значит, они принадлежат поляре несобственной точки. Это позволяет дать следующее определение:

Определение: Диаметром квадрики будем называть поляру несобственной точки.

Замечание: Несобственных точек бесконечно много, а значит и диаметров много.

Уравнение диаметра: λ ∙ а ∙ Х = А_∞ ^Т∙ Q ∙ Х

Замечание: По свойствам полюса и поляры – диаметры квадрики пересекаются в центре.

Задача. Определить аффинный класс квадрики, найти центр, асимптоты (если есть)

х₁ ² + х₂ ² + х₃ ² + 6 ∙ х₁ ∙ х₂ =0.

Найти диаметр, параллельный прямой 3 х₁+ 2 х₂ - х₃ = 0.

Решение. Найдем несобственные точки квадрики. Решим систему

х₁ ² + х₂ ² + 6 ∙ х₁ ∙ х₂ = 0 |: х₂ ² ≠ 0 получим

решение . Значит квадрика имеет две несобственные точки М₁ и М₂ , т.е. квадрика гиперболического типа.

Матрицей квадрики будет - Q = , причем Δ Q = -8 ≠ 0, значит это не вырожденная линия. Таким образом, это гипербола. Найдем поляру несобственной точки:

= х₁ + 3 х₂ = 0.

Q^-1 = , тогда полюс несобственной прямой х₃ = 0

μ ∙ С= - центр квадрики.

Найдем асимптоты – поляры несобственных точек:

асимптоты имеют уравнения: и

Найдем несобственную точку прямой 3 х₁+ 2 х₂ - х₃ = 0:

несобственная точка D .

Диаметр соответствующий этой точке: 7 х₁ - 3 х₂ = 0.

Несобственная точка этого диаметра , тогда ее поляра:

3 х₁ + 2 х₂ = 0.

Другой способ: искомый диаметр проходит через точку D и центр С:

=0 3 х₁ + 2 х₂ = 0.

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ