Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Взаимное расположение прямой и квадрикиПусть дана овальная квадрика Х Т∙ Q ∙ Х =0 и прямая (АВ). Взаимное расположение прямой и квадрики будет зависеть от решения системы: Если существует решение, тогда квадрика и прямая пересекаются. Если решения не существует, тогда квадрика и прямая не пересекаются. Параметрическое уравнение прямой подставим в уравнение квадрики. (λ ∙ А Т + μ ∙ В Т)∙ Q ∙(λ ∙ А + μ ∙ В) =0 λ ² ∙А Т∙ Q ∙ А + λ ∙ μ ∙ А Т∙ Q ∙ В + μ ∙ λ ∙ В Т∙ Q ∙ А + μ ²∙ В Т∙ Q ∙ В = 0 Каждое из выражений А Т∙ Q ∙ А, А Т∙ Q ∙ В, В Т∙ Q ∙ А, В Т∙ Q ∙ В является числом, так как матрицы Q, А, А Т, В, В Т- заданы. (А Т∙ Q ∙ В)Т = В Т∙ Q Т∙ А ТТ =В Т∙ Q ∙ А, но А Т∙ Q ∙ В - это число, а значит (А Т∙ Q ∙ В)Т= А Т∙ Q ∙ В, т.е. А Т∙ Q ∙ В = В Т∙ Q ∙ А. Обозначим А Т∙ Q ∙ А = а, В Т∙ Q ∙ В= b, А Т∙ Q ∙ В = В Т∙ Q ∙ А = с, Тогда получим: λ ²∙ а + 2∙ λ ∙ μ ∙ с + μ ²∙ b = 0 - однородное уравнение, разделим на μ ² (параметры уравнения прямой λ и μ одновременно не обращаются в 0, хотя бы один их них отличен от 0). - квадратное уравнение относительно . D = 4∙ с ² - 4∙ а ∙ b = 4∙(А Т ∙Q Т∙ В) ² - 4∙(А Т∙ Q ∙ А) ∙ (В Т∙ Q ∙ В). Как известно, квадратное уравнение может иметь два, или один, или ни одного корня в зависимости от дискриминанта. При D > 0, две точки пересечения, т.е. прямая будет секущей; при D = 0, одна точка пересечения, т.е. прямая будет касательной к квадрике; при D < 0, точек пересечения прямой и квадрики нет. Замечание: Аналогично можно рассматривать систему . Выражая одну из переменных через две другие и подставляя в уравнение квадрики, получим однородное уравнение второй степени от двух переменных. Решая аналогичным способом, итоговый результат будет тем же.
Вывод: Прямая может не иметь общих точек с квадрикой, может касаться её или быть секущей. Других вариантов нет.
Задача. Установить взаимное расположение квадрики х1 ²+ х2 ² -х3 ² - 2∙ х1 ∙ х2 -4∙ х1 ∙ х3 =0 и прямой, проходящей через точки А и В . Решение. Первый способ: Q= - матрица квадрики, тогда а =А Т∙ Q ∙ А = ∙ ∙ = 12 b= В Т∙ Q ∙ В= ∙ ∙ = 4 с = А Т∙ Q ∙ В = ∙ ∙ = -8, и Одно решение λ1= 1 и μ1 = 3 Х1 = 1 ∙ + 3 ∙ = = . Второе решение λ2= 1 и μ2 =1 Х2 = 1 ∙ + 1 ∙ = = . Прямая пересекает квадрику в двух точках Х 1 и Х 2. Второй способ: Найдем уравнение прямой (АВ): =0 - 2 х 1 +2 х 2 -2 х 3 = 0 х 1 - х 2 + х 3 = 0. Решим систему
Х1= и Х2= - точки пересечения (АВ) и КВП
|