Задачи на построение

Задача 1. Дана овальная квадрика и точка Р ей не инцидентная. Построить поляру точки Р.

Решение. Пусть для определенности Р – внешняя точка. Необходимо восстановить какой-либо четырёхвершинник инцидентный овальной квадрике, так чтобы точка Р была одной из диагональных точек. Через точку P проводим две произвольные прямые а и b так чтобы они пересекали квадрику: а ∩ КВП = А, В, b ∩ КВП = С, D.

АВСD - является вписанным четырехвершинником и точка P является диагональной точкой. Строим две другие диагональные точки: (АС) ∩ (ВD)= Q, и (АD) ∩ (ВС)= R.

Прямая (RQ) является полярой.

Замечание: В некоторых случаях одну из диагональных точек построить сложно, она может выйти за пределы чертежа. В этом случае можно построить ещё один какой-либо четырехвершинник вписанный в овальную квадрику.

Замечание: Если P – внутренняя точка построение аналогичное.

Задача 2. Дана овальная квадрика и прямая а. Построить полюс прямой.

Решение. Воспользуемся свойством (2).

На прямой а возьмем две различные точки В и С, построим их поляры - b и с (см. пред. задачу).

b ∩ с = А – полюс прямой а.

Задача 3. Дана овальная квадрика и точка А ей инцидентная, построить поляру точки.

Решение. Поляра точки в этом случае будет касательной.

Воспользуемся свойством (2): если через точку А провести какую-либо прямую b, то её полюс – В пройдет через поляру точки А.

Построение полюса прямой – задача 2.

Задача 4. Дана овальная квадрика и точка А. Через точку А провести касательную к квадрике.

Решение.

1. А - внутренняя точка - касательных нет.

2 А КВП – касательная является полярой (см. задачу 3).

3. А - внешняя точка - касательные две. По свойству (1), если а поляра точки А, тогда а ∩ КВП = В и С - эти точки являются точками касания. Т.е. (АВ) и (АС) - касательные.

Задача 5. Дана овальная квадрика и прямая а, касающаяся квадрики, построить полюс прямой.

Решение. Полюс прямой в этом случае будет точкой касания.

Воспользуемся свойством (2). Если на данной прямой а взять какую-либо точку В, то её поляра – b пройдет через полюс прямой а.

Построение поляры точки – задача 1.