Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Проективные преобразования плоскостиРассмотрим Р2 и реперы R (Е1,Е2,Е3,Е) и R ′(Е ′ 1,Е ′ 2,Е ′ 3,Е ′). Определение 1: Отображение f: Р2 → Р2 заданное упорядоченной парой (R, R ′) называется проективным преобразованием, если: М Р2 → f (М) = Р2. Замечание: Отображение f зависит только от реперов. Замечание: Так как координаты точек и прямых определяются одинаково, то f (М) может быть как точкой, так и прямой. Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в точку, а прямую в прямую называется коллинеация. Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в прямую, а прямую в точку называется корреляция. Замечание: Корреляция рассматривалась при обосновании принципа двойственности. В дальнейшем будем рассматривать коллинеации. Лемма 1. При проективном преобразовании репер переходит в репер. Доказательство. Пусть дано проективное преобразование плоскости f: М → М ′ = f (М) = . Тогда Е1 → f (Е1)= = Е ′ 1, аналогично отображаются другие точки репера: Е2 → f (Е2)= = Е ′ 2, Е3 → f (Е3)= = Е ′ 3 . □ Свойства проективных преобразований: 1. А, В, С ℓ А′, В′, С′ ℓ′. Доказательство. Пусть в репере R уравнение прямой (AB): и1·х1 + и2·х2 + и3·х3 =0 и координаты точки С . Так как А′ и В′ имеют те же самые координаты, что и точки А, В, но только в репере R ′, то уравнение прямой (А′В′) будет иметь такой же вид и1·х′1 + и2·х′2 + и3·х′3 =0 в R ′. Если точка С (АВ), то: и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0. Образ - С ′ и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0 в R ′, а это означает что С ′ (А ′ В ′). □ Замечание: Для корреляции: А, В, С ℓ → а′, b′, с′ П(S). 2. А, В, С ℓ А′, В′, С′ ℓ′. Доказательство. От противного: А, В, С ℓ и А′, В′, С′ ℓ′. Возьмем М Р2, пусть (АВ)∩(СМ) = N. При преобразовании А → А′, В → В′, С → С′, N → N′. А, В, N (АВ) А′, В′, N′ (А′В′), С, М, N (СМ) С′, М′, N′ (С′М′) (по свойству (1)). По предположению А′,В′,С′ ℓ′ (А′В′)= ℓ′ N′ ℓ′ (С′М′)= ℓ′. Так как точка M – произвольная, получается, что вся плоскость отображается на прямую ℓ′. А это не возможно. □ Вывод: При проективном преобразовании сохраняется отношение инцидентности.
3. Сохраняется сложное отношение точек лежащих на одной прямой: (АВ,СD)=(А′В′,С′D′). Доказательство. Так координаты точек образов и прообразов одинаковы, то при вычислении сложного отношения используются одни и те же числа, то сохраняется двойственное отношение.□ Определение 2: Отображение f: Р2 → Р2 заданное упорядоченной парой (R, R ′) называется проективным преобразованием, если: А, В, С, D ℓ → А′, В′, С′, D′ ℓ′ и (АВ,СD)=(А′В′,С′D′). Замечание: а, b, с, d П(S)→ а′, b′, с′, d′ П(S′) сохраняется (аb,сd)=(а′b′,с′d′). А, В, С, D ℓ → а′, b′, с′, d′ П(f (ℓ)) сохраняется (АВ,СD)=(а′b′,с′d′). Вывод: Корреляция как проективное преобразование попадает под это определение.
Теорема. Определения 1 и 2 эквивалентны. Доказательство. Самостоятельно. Лемма 2. Пусть f1: Р2 → Р2 и f2: Р2 → Р2 - два проективных преобразования, причем для некоторой прямой ℓ имеем, что А,В,С ℓ и f1 (А)= f2 (А), f1 (В)= f2 (В), f1 (С)= f2 (С), тогда f1 (ℓ)= f2 (ℓ). (Если проективные преобразования f1 и f2 совпадают по трем точкам некоторой прямой, то они совпадают на всей прямой.) Доказательство. От противного. Возьмем М ℓ и пусть f1 (М)≠ f2 (М). f1 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f1 (А) f1 (В), f1 (С) f1 (М))=(А ′ В ′ ,С ′ М1). f2 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f2 (А) f2 (В), f2 (С) f2 (М))=(А ′ В ′ ,С ′ М2). (А ′ В ′ ,С ′ М1)=(А ′ В ′ ,С ′ М2), но в силу единственности двойного отношения следует М1=М2 для любой точки прямой ℓ f1 (ℓ)= f2 (ℓ). □ Теорема. Пусть R (Е1 ,Е2 ,Е3 , Е) и R ′(Е ′ 1 , Е ′ 2 , Е ′ 3 , Е ′) произвольные реперы на Р2. Тогда существует единственное проективное преобразование f: Р2 → Р2, которое переводит репер в репер, причем М (х1: х2: х3) R → f (М)=(х1: х2: х3) R′ Доказательство. Самостоятельно.
|