Диференціальні рівняння. Ряди

4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке позв'язує між собою незалежну змінну , шукану функцію і її похідні або диференціали. Символічно диференціальне рівняння записують:

.

Порядком диференціального рівняння називається порядок вищої похідної (або диференціала), що входять у дане рівняння.

Розв’язком або інтегралом диференціального рівняння називається така функція, що обертає це рівняння в тотожність . Число констант збігається з порядком рівняння.

Диференціальним рівнянням першого порядку з відокремлюваними змінними називається рівняння виду

.

(4.1.1)

План розв’язання такого рівняння полягає в наступному:

а) біля збираємо всі члені, пов'язані з ;

б) біля збираємо всі члені, пов'язані з ;

в) інтегруємо обидві частини рівняння.

Приклад 4.1.1. Знайти розв’язок рівняння .

Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді або . Розділимо змінні: . Проінтегруемо обидві частини рівняння: , . Довільна постійна може приймати будь-які припустимі числові значення. Тому для зручності перетворень замість запишемо , тобто

або

, .

Однорідною функцією -го порядку називається функція така, що

.

(4.1.2)

Наприклад:

– однорідна функція 2-го порядку;

– однорідна функція 3-го порядку;

– однорідна функція 1-го порядку.

Рівняння виду

,

(4.1.3)

де і – однорідні функції того самого порядку, називається однорідним.

Однорідне рівняння за допомогою підстановки приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Приклад 4.1.2. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Зробимо заміну . Знайдемо похідну . Підставимо значення і у рівняння: .

Зробимо в рівнянні спрощення:

, , , , .

Одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Розділимо змінні . Проінтегруємо обидві частини рівняння:

, , .

Визначимо загальний розв’язок вихідного рівняння, тому що , то

.

Рівняння виду

(4.1.4)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Розв’язання лінійного рівняння зводиться до розв’язання двох рівнянь із відокремлюваними змінними, якщо шукану функцію замінити добутком двох допоміжних функцій і , тобто покласти . Тоді і вихідне рівняння має вид:

або ,

(4.1.5)

План розв’язання лінійного рівняння першого порядку:

а) вираз при прирівнюємо нулю – це перше рівняння з відокремлюваними змінними, з нього знайдемо функцію ;

б) друге рівняння з відокремлюваними змінними – з нього знайдемо функцію ;

в) виразимо загальний розв’язок .

Приклад 4.1.3. Знайти загальний розв’язок лінійного рівняння .

Розв’язання. Припускаємо , тоді . Дане рівняння прийме вид:

, .

Вираз при прирівняємо нулю . Знаходимо його розв’язок:

,

звідки

.

Підставляючи у вихідне рівняння, одержимо рівняння

,

звідки

, або .

Інтегруючи, одержуємо . Виходить, шуканий загальний розв’язок можна записати у вигляді:

.

Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:

,

(4.1.6)

де і – числа.

Для знаходження загального розв’язку такого рівняння часткові розв’язки знаходять у вигляді , у результаті чого одержують і розв’язують відповідне характеристичне рівняння щодо змінної :

.

(4.1.7)

При розв’язання характеристичного рівняння можливі три випадки:

Випадок 1. , характеристичне рівняння має два різних дійсних корені і .

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

,

(4.1.8)

де і – довільні постійні.

Випадок 2. , характеристичне рівняння має два однакових дійсних корені .

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

,

(4.1.9)

де і – довільні постійні.

Випадок 3. , коріннями характеристичного рівняння є комплексні числа .

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

,

(4.1.10)

де і – довільні постійні.

Приклад 4.1.4. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корінь (за формулою 4.1.8):

, , , .

Запишемо загальний розв’язок даного рівняння:

.

Приклад 4.1.5. Знайти загальний розв’язання рівняння .

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корінь (за формулою 4.1.9):

, , .

Запишемо загальний розв’язок даного рівняння:

.

Приклад 4.1.6. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корінь (за формулою 4.1.10):

, , , , .

Запишемо загальний розв’язок даного рівняння:

.