Пример решения экономической задачи графическим методом

Пример. Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В таблице 8 указаны наличный парк вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные поезда, и количество пассажиров, вмещающихся в каждом из вагонов

Табл.8

Определить оптимальное число поездов (скорых и пассажирских), обеспечивающее максимальное количество перевозимых пассажиров, при условии, что в день железная дорога не может пропустить более шести пассажирских поездов.

Построим математическую модель задачи. Целевая функция

x ₁ – количество скорых поездов,

x ₂ – количество пассажирских поездов,

при условиях-ограничениях

Построим вектор и ОДР:

I: x ₁ + x ₂ = 12,

II: x ₁=8,

III: 5 x ₂ + 8 x ₂ = 81,

IV: 6 x ₁ + 4 x ₂ = 70,

V: 3 x ₂ + x ₂ = 26,

VI: x ₂ = 6

Наибольшее значение целевая функция принимает в точке М, которая является пересечением двух прямых I и VI, найдём её координаты

Итак, максимальный пассажиропоток можно получить при данных условиях задачи, если будет сформировано оптимальное число поездов – 6 скоростных и 6 пассажирских.

Тема 3.Симплекс – метод решения задачи линейного програмирования.

Решение основной задачи ЛП геометрическим методом является наглядным в случае двух и даже трёх переменных. Для случая же большего числа переменных геометрический метод становится невозможным. Тогда можно применить один из аналитических методов – симплексный метод. Симплекс – метод является универсальным, т.к. позволяет решить практически любую задачу ЛП, заданную в каноническом виде. Симплекс – метод разработал американский математик Дж. Данциг. Идея этого метода основана на последовательном переходе от одного опорного плана задачи ЛП к другому, при этом значение целевой функции изменяется. Оптимальность решения достигается за счёт улучшения начального опорного решения а конечное число шагов (итераций), т.к. число опорных решений конечно.

Рассмотрим математическую модель задачи ЛП, заданную следующим образом:

Определить который удовлетворит ограничениям вида:

и обеспечивает максимальное значение целевой функции