Рекурсивные и нерекурсивные дискретные фильтры. Операция свертки. Формы реализации дискретных фильтров

Цифровые фильтры по принципу выполнения фильтрации могут быть разделены на два класса - рекурсивные и нерекурсивные фильтры [21, 24].

Математически функционирование нерекурсивного фильтра описывается уравнением вида:

yn = (5.21)

Такой фильтр может рассматриваться как устройство без обратной связи, имеющее структуру, показанную на рис.5.1:

Рис. 5.1. Нерекурсивный линейный фильтр

Рис. 5.3. Структурная схема нерекурсивного фильтра с конечной импульсной характеристикой.

Работа же рекурсивного фильтра описывается выражением:

yn = - , (5.22)

где yn - n-й отсчет выходного сигнала; xn - n-й отсчет входного сигнала; hk - коэффициенты фильтра.

Рекурсивный фильтр может рассматриваться как устройство с обратной связью.

Рис. 5.2.. Структурная схема рекурсивного фильтра с бесконечной импульсной характеристикой.

Подобная структура рекурсивного фильтра имеет теоретически бесконечную память, и, следовательно, ее можно считать структурой фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Такой фильтр не обладает неограниченной устойчивостью, если на значения коэффициентов b не наложены ограничения. Однако наличие в характеристике как полюсов, так и нулей позволяет реализовать фильтр с крутым срезом характеристики в сочетании с малой шириной полосы пропускания при небольшом числе элементов задержки (т.е. фильтр малой сложности). Один из недостатков фильтра БИХ-типа – отсутствие методов управления фазовой характеристикой (групповой задержкой) фильтра. Однако основной проблемой при проектировании адаптивных фильтров БИХ-типа является возможная неустойчивость фильтра из-за наличия паразитных полюсов за пределами области устойчивости.

Операция свертки:

Свертка позволяет рассчитать сигнал на выходе линейного фильтра с импульсной характеристикой , при входном сигнале .

В дискретном случае различают два вида сверток: линейную (или апериодическую) и циклическую. Циклическую свертку еще часто называют круговой или периодической.