Аналогово-цифровое и цифро-аналоговое преобразование. Частота Найквиста. Теорема Котельникова. Спектр дискретного сигнала. Алиасинг (aliasing), устранение явления

Цифроаналоговые преобразователи (ЦАП, Digital Analog Converter – DAC) и аналого-цифровые преобразователи (Analog Digital Converter – ADC) можно рассматривать как специфические кодирующие и декодирующие устройства.

в)

Рис 12.1. ЦАП (а), АЦП (б), дискретизация синусоидального сигнала (в)

Входным сигналом ЦАП является двоичное число, которое может быть представлено в виде параллельного или последовательного N-разрядного двоичного кода.

Выходной сигнал ЦАП – аналоговое напряжение или ток. Поэтому в литературе иногда ЦАП встречается под названием параллельный (последовательный) ПКН (преобразователь код - напряжение) или ПКТ (преобразователь код-ток). Каждый такт преобразования двоичный код преобразуется в пропорциональную ему ступеньку напряжения (тока). В результате, ступенчатое напряжение на выходе после сглаживания можно полагать аналоговым.

Входным сигналом АЦП является аналоговый сигнал, обычно напряжение. Выходной сигнал - N-разрядной двоичный код может быть параллельного или последовательного вида. Каждый такт аналоговый сигнал сравнивается с уровнями напряжения (сеткой) и подсчитывается приблизительное количество уровней m, которое кодируется в двоичный код Di, соответствующее мгновенному значению аналогового сигнала.

Преобразование аналогового сигнала в цифровой состоит из двух этапов: дискретизации по времени (рис 12.1в) и квантовании по амплитуде (рис 12.1б).

Дискретизация по времени означает, что сигнал представляется рядом своих отсчетов, взятых через равные промежутки времени. Например, когда мы говорим, что частота дискретизации 44,1 кГц, то это значит, что сигнал измеряется 44100 раз в течение секунды.

Основной вопрос на первом этапе преобразования аналогового сигнала в цифровой (оцифровки) состоит в выборе частоты дискретизации аналогового процесса. Ответ на него дает известная теорема Найквиста, утверждающая, что для того, чтобы аналоговый (непрерывный по времени) сигнал, занимающий полосу частот от 0 Гц до F Гц, можно было абсолютно точно восстановить по его отсчетам, частота дискретизации должна быть как минимум вдвое больше максимальной частоты (2F). Таким образом, если реальный аналоговый сигнал, который мы собираемся преобразовать в цифровую форму, содержит частотные компоненты от 0 Гц до 20 кГц, то частота дискретизации такого сигнала должна быть не меньше, чем 40 кГц.

Процесс аналогово-цифрового преобразования называется процессом квантования, а разность напряжений ближайших уровней сетки – квантом преобразования DU, или величиной младшего значащего разряда МЗР - DUЕ. Очевидно, что точность преобразования тем выше, чем меньше величина кванта DU, или чем больше количество квантованных уровней, обычно характеризуемых двоичным числом 2N. Удобнее пользоваться параметром разрядности преобразования N (8-разрядный АЦП, 16-разрядный ЦАП), подразумевая, что число квантованных уровней 2N.

При цифровом представлении в нашем распоряжении имеется информация о величине сигнала только в определенные моменты времени. Мы не имеем дополнительной информации о форме сигнала между отсчетами. Восстановление формы, (интерполяция) сигнала между отсчетами и является задачей цифро-аналогового преобразования. Интерполяция в современных ЦАП может выполняться нелинейными и линейными (цифровая фильтрация) методами в сочетании с аналоговыми (антиалиазинговыми) фильтрами высоких частот. Простейшие нелинейные методы интерполяции вполне очевидны.

Для описания характеристик ЦАП И АЦП используются смешанные параметры:

Разрешающая способность характеризует возможное количество уровней аналогового сигнала. Обычно выражается в виде количества двоичных разрядов. Например, разрешающая возможность ЦАП или АЦП – 16 двоичных разрядов.

Погрешность (точность) представляет собой величину отклонения выходного сигнала от расчетного значения. Погрешность может быть выражена в процентах от полного изменения сигнала или в виде количества двоичных разрядов с гарантированной точностью или часто в виде половины младшего значащего разряда (МЗР). Если гарантируется N двоичных разрядов ЦАП, то возможная максимальная погрешность DUЕ£Uвых мах/2N. Аналогично для ЦАП, имеющую N двоичных разрядов и погрешность ½ МЗР

.

Необходимо отметить, что разрешающая способность и погрешность не одно и тоже. Например, при разрешении 16 двоичных разрядов может быть обеспечена точность 12 разрядов.

Погрешность преобразования состоит из статической и динамической погрешности. Динамическая погрешность связана с конечным временем преобразования, называемым временем установления tуст – это временной интервал от момента скачкообразного изменения входного сигнала до момента, когда выходной сигнал достигнет нового установившегося значения (обычно ±1/2 НМЗР).

Скорость преобразования величина обратная времени установления f=1/tуст(измеряется в Мбит/с).

Иногда для описания свойств преобразователей код-аналог и аналог-код используется параметр линейность который удобен для экспериментальных измерений. Показывает отклонение выходного сигнала от линейного при подаче на вход линейно изменяющегося сигнала (аналогового пилообразного сигнала для АЦП или линейно изменяющейся последовательности двоичного кода для ЦАП), измеряется в %.

Данные в устройства преобразования могут поступать в параллельном или в последовательном коде. Преимущество параллельного кода ясно видно - быстрая передача данных и простой протокол связи. Но минимизация радиоаппаратуры требует уменьшения размеров корпуса микросхемы. Это достигается за счет передачи последовательного кода данных. Протокол последовательного периферийного интерфейса (SPI) и микросхемы, с ним связанные, сегодня имеют уже большую долю рынка ЦАП и поэтому многие из них работают с двухпроводным I2С-совместимым интерфейсом. Часто требуется гальваническая развязка линии данных. Наиболее просто это осуществляется с помощью оптронных приборов при последовательном интерфейсе. Так, новые 12ти-разрядные ЦАПы типа MAX5539 и MAX5543 имеют встроенную развязку, что позволяет получить аналоговый выход не связанный гальванически с входом.

Характеристики ЦАП в большей степени определяются источником опорного напряжения, который может быть встроен в корпус преобразователя или применяться как внешний элемент. Если на выходе аналоговый сигнал не усиливается, то максимальный входной код соответствует Von. Опорное напряжение также определяет напряжение шага, то есть изменение выхода в ответ на 1 переход младшего значащего разряда на входе. Один шаг равен Von/2n, где N — разрядность ЦАПа.

Частота Найквиста — в цифровой обработке сигналов частота, равная половине частоты дискретизации. Названа в честь Гарри Найквиста.

Гармонический сигнал может быть адекватно представлен дискретными отсчетами, если его частота не превышает половины частоты дискретизации. Эта частота называется частотой Найквиста:

. (3)

В зависимости от соотношения между частотой дискретизируемого гармонического сигнала и частотой Найквиста возможны три случая:

1) Если частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста: , дискретные отсчеты позволяют правильно восстановить аналоговый сигнал:

2) Если частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста: , то дискретные отсчеты позволяют восстановить аналоговый гармонический сигнал с той же частотой, но амплитуда и фаза восстановленного сигнала могут быть искажены. В худшем случае все отсчеты синусоиды будут равны нулю:

3) Если частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста: , восстановленный по дискретным отсчетам аналоговый сигнал будет так же гармоническим, но с иной частотой. Данный эффект носит название появлениеложных частот:

Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано, доказано и опубликовано в 1933 году В. А. Котельниковым: «Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой F_max полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал » Кроме того, теорема Котельникова дает и способ точного восстановления сигнала по его отсчетам.

Доказательство

причем при (1)

Разложим функцию в частотной области на конечном интервале (с периодом ) в комплексный ряд Фурье:

где (2)

(3)

Сравнивая интегралы в (3) и (1), видно, что они равны при , т. е. тогда

(4)

Подставляем (4) в (2), а затем в (1)

т. к. суммирование по от -¥ до +¥, то можно заменить знак у.

(5)

Максимальные значения членов ряда будут при и равны , при этом все остальные члены ряда равны нулю, т. е. при функция s(t) точно передается рядом. Во все другие моменты времени необходимо суммировать бесконечное число отсчетов, чтобы передать s(t) точно.

График спектра дискретного сигнала, полученного из непрерывного, показан на рис.9.15,б.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

• спектральная плотность дискретного сигнала представляет собой бесконечную последовательность спектральных плотностей исходного непрерывного сигнала , сдвинутых друг относительно друга на частоту ;
• огибающая спектральной плотности дискретного сигнала с точностью до коэффициента повторяет огибающую спектральной плотности дискретизирующего прямоугольного импульса.

Чтобы восстановить непрерывный сигнал из дискретного , достаточно выделить центральную часть спектра . На практике это осуществляют с помощью идеального ФНЧ, имеющим коэффициент передачи

, .

Алиасинг, наложение — в статистике, обработке сигналов и смежных дисциплинах эффект, приводящий к наложению, неразличимости различных непрерывных сигналов при их дискретизации.

Алиасинг — одна из главных проблем при аналого-цифровом преобразовании видео- и аудиосигналов. Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные его составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени приводит к его искажениям.

Для предотвращения этого эффекта частота дискретизации должна быть достаточно высокой и сигнал должен быть надлежащим образом отфильтрован перед оцифровкой.

Алиасинг в компьютерной графике — эффект «ступенчатости» изображения, против которого используются различные алгоритмы сглаживания

Два разных синусоидальных сигнала, при оцифровке неотличимых: высокочастотный с частотой (красный) и низкочастотный (синий).