Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь – круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала, равному . Входящие в формулу кратные ей частоты называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом ; частота называется –й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда и рассчитываются по формулам:

, .

Константа рассчитывается по общей формуле для . Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

.

Вещественная форма записи ряда Фурье.

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (т. е. для каждой гармоники с частотой kω 1) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

, где

;

Если S (t) является четной функцией, фазы φ могут принимать только значения 0 и π, а если S (t) - функция нечетная, то возможные значения для фазы φ равны + π /2.

Если bk = 0, тогда tg φ = 0 и угол φ = 0

Если ak = 0, тогда tg φ – бесконечен и угол φ =

В этой формуле может быть и минус (смотря какое направление взято).

Комплексная форма записи ряда Фурье.

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера ejθ = Cosθ + jSinθ):

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое a 0/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:

Формула расчета коэффициентов Ck ряда Фурье:

Если S (t) является четной функцией, коэффициенты ряда Ck будут чисто вещественными, а если S (t) – функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми.

1. Преобразование Фурье. Корреляционный анализ.

Преобразование Фурье — математическая операция, сопоставляющая некой функции вещественной переменной — другую функцию (также вещественной переменной). Новая функция включает весовые коэффициенты («амплитуды»), формирующиеся в процессе преобразования исходной функции — к виду суммы гармонических колебаний с определёнными частотами.

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений.