N.B.! Этот алгоритм, естественно, не единственный: можно было бы сделать замену или и др

ПРОВЕРКА

=

─ +

=

=

= =

= ─ правильность решения подтверждена.

10. . Интеграл этого типа был рассмотренранее (см. выше стр.17). Согласно приведённым там рекомендациям воспользуемся формулой: . Тогда = . Разбив этот интеграл на сумму двух «почти что табличных» интегралов и дважды воспользовавшись приёмом «замены аргумента» (см. Пример 1), получим решение +С.

ПРОВЕРКА

= = = = = -желаемый результат!

Ответ: +С.

11. Этот интеграл по рекомендациям страницы 18 и 19 сводится к интегралу , для которого = 9, =- 8 и =- 7. Получаем интеграл . Так как дискриминант знаменателя =32 , то для решения данного интеграла подходит метод «неопределённых коэффициентов» (см. стр. 11 и 12). Для этого вычислим корни трёхчлена знаменателя: = и = и перепишем наш интеграл в виде . После рутинных преобразований (см. Пример 20) получаем значения коэффициентов: = и = , а интеграл принимает свой промежуточный вид: +С. После обратной подстановки окончательное решение +С.

12. I= . Если из-под радикала знаменателя вынести (см. стр. 19 и 20), то интеграл примет вид I= . Согласно рекомендациям на тех же страницах необходимо ввести замену = . После этого получаем интеграл I= . Вспомнив, что , получим I= = и, согласно дополнительной таблице интегралов, I= . Если вспомнить, что , то I= +С.

13. I= . Такой тип интеграла уже рассматривался на страницах 20 и 21. По рецепту, предложенному там, вводим новую переменную = (6 - наименьшее общее кратное 2 и 3 –показателей радикалов знаменателя) = = = . Тогда интеграл примет вид: I= = . Выделяем целую часть и остаток: I= . А это уже табличные интегралы: I= +С. После обратной подстановки и соответствующих преобразований решение интеграла получит следующий вид I= +С.

ПРОВЕРКА:

Сначала приведём решение к виду, более удобному для дифференцирования: = + ─ +С. Тогда = + = +

= = = ─ полное совпадение с подынтегральной функцией.

Ответ: = +С.

14. I= . При взгляде на подынтегральную функцию возникает естественное желание сделать замену аргумента на какую-либо переменную, например, = = = . Исходный интеграл преобразуется в = . Об интеграле этого типа речь шла на с. 23. Согласно предлагаемому на этой странице алгоритму подынтегральная функция сначала расщепляется на произведение , затем преобразуется в , откуда со всей очевидностью напрашивается замена: = = = . Интеграл принимает вполне табличный вид = = = +С. После первой обратной замены = +С, а после второй и окончательной замены получаем = +С.