Интегралы типа ,

а) вариант (нечётная степень): . Подход к этим интегралам одинаковый, поэтому сначала рассмотрим, например, интеграл . Перепишем его в другой форме: . Очевидна замена: . Тогда . После раскрытия скобок для соответствующего значения искомый интеграл приводится к алгебраической сумме интегралов от степенной функции. Аналогично решается и интеграл с той лишь разницей, что заменяется .

Пример 12.

Рецепт. Вводим замену . = . После обратной подстановки получаем решение:

б) вариант (чётная степень): .

Для данных интегралов используется другая схема: с помощью известных в тригонометрии формул и вдвое понижается степень и во столько же раз возрастает значение аргумента. Интеграл преобразуется в алгебраическую сумму интегралов от в соответствующей степени (но отнюдь не обязательно!). Для интегралов с этой функцией в нечётной степени применяем способ из Примера 11, а для случая с чётной степенью – нужно ещё раз удвоить аргумент и т.д.

Пример 13.

Рецепт. С помощью приведённых выше формул преобразуем интеграл:

.

6.2. Интегралы типа

Интегралы этого типа несколько сложнее интегралов из предыдущего раздела. Возможны, естественно, три варианта:

а) один из показателей степени нечётный, другой─ чётный, т.е.

либо , либо , где и ─ целые числа.

Рассмотрим, например, первый вариант и преобразуем интеграл к виду: . Вид последних двух сомножителей наводит на очевидную мысль, что необходимо ввести замену и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством . Тогда интеграл примет вид: .

Раскрывая скобки для соответствующих степеней, получаем сумму интегралов от степенной функции.

Пример 14.

Рецепт. Вводим замену и получаем . Обратная подстановка приводит к окончательному ответу .

б ) оба показателя чётные: . Тогда с помощью формул и интеграл преобразуется: . Раскрываем скобки и получаем алгебраическую сумму табличных интегралов.

Пример 15.

Рецепт 1. Используя преобразования, описанные выше, получим интеграл

. Здесь . Используем замену: . Тогда . Сделаем обратную подстановку и получим желанное решение: .

Рецепт 2. Можно использовать и другой путь: . Тогда подынтегральная функция получит следующий вид: = , а сам интеграл: = = - = - = .

Совпадение конечного результата по обоим рецептам свидельствует о правильности альтернатив решения одного и того же интеграла.

в) и, наконец, третий вариант – оба показателя нечётные:

. Преобразуем интеграл к виду: . Снова воспользуемся формулами удвоенного аргумента функции косинуса: . Очевидно, что напрашивается замена: : тогда интеграл принимает вид: . Снова интеграл доведён до состояния, когда его можно представить в виде алгебраической суммы табличных интегралов.

Пример 16

Рецепт. Используем преобразования, описанные выше, и получаем интеграл

. Замена:

преобразует интеграл

. После обратной подстановки имеем решение .

Каждый из этих трёх вариантов решения требует своего подхода. Но есть ещё один приём:

г) «универсальная тригонометрическая подстановка» , для которой находим дифференциал Отсюда Применим этот приём к уже знакомому интегралу из Примера 11 . Подставив введённые выше выражения для и , получаем интеграл: Очевидно, что теперь можно использовать «метод неопределённых коэффициентов»: Решаем простую систему линейных уравнений: . Результат: Продолжим решение интеграла: = Возвращая этот результат в исходный интеграл и делая обратную подстановку, получаем Сравните этот результат с результатом Примера 11 и проверьте, нет ли расхождения.