Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примечания. 1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 11. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1. 2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должен сопровождаться проверкой решения (см. образец). 1. = . Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: = , а это – табличные интегралы, поэтому решение: = . ПРОВЕРКА = + ─ + = + + . Получено полное совпадение с подынтегральной функцией решаемого интеграла, значит, решение - верное. Ответ = .
2. = = = . Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: = для интеграла и = - для интеграла . Тогда = = . Получаем = (табличный интеграл)= . С помощью обратной подстановки получаем = = . Аналогичные преобразования для интеграла : = = приводят к результату = = = . Таким образом, общее решение = +С. ПРОВЕРКА ( +С) = = ─ очевидное совпадение. Ответ: = + +С.
3. = . Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»: = . Тогда дифференциал = = и интеграл принимает вид , т.е. снова табличный интеграл = . После обратной замены получаем = . ПРОВЕРКА: = = = = = - снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла. Ответ = +С.
4. = . Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: = . ПРОВЕРКА = = = = ─ интеграл взят верно.
Ответ = .
5. = . Сравнение этого интеграла с интегралом Примера 8 снова вызывает ассоциации с тем же методом «по частям»: = = , т.е. = . Тогда вводим = . Снова применим метод «по частям», но уже к вторичному интегралу: . Продолжим интегрирование: = = = . Но последний интеграл совпадает с исходным интегралом, отсюда получаем следующее равенство = . Тогда 5 = , = а искомый интеграл ─ = +С.
Согласно тексту задания в данном пункте необходимо построить вместе графики подынтегральной и первообразной функции и , чтобы визуально убедиться в выполнении основного свойства неопределённого интеграла: . Выбор интервала значений аргумента в общем случае – любой, хотя определённый интерес, например, может представлять анализ поведения этих функций вблизи точек экстремума первообразной функции, т.е. вблизи корней уравнения =0. Из текста решения данного интеграла следует, что подынтегральная функция , а первообразная функция (решение интеграла) = +С. Решаем уравнение: =0. Нетрудно убедиться, что это уравнение имеет бесконечное множество решений: . При значения обеих функций быстро уменьшаются из-за множителя , а при наоборот устремляются к , соответственно. Поэтому имеет смысл выбрать, например, интервал . Найдём корни, принадлежащие этому интервалу: . Поскольку ─ целое число, то эта величина в данном интервале может принять только четыре разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует четырём корням: . Построить совмещённый график Вы можете двумя способами: вручную или средствами Excel. Но в любом случае необходимо иметь таблицу, содержащую исходные данные и поэтому состоящую из трёх колонок. Первая ─ набор значений аргумента , две остальных ─ значения подынтегральной функции и первообразной функции для соответствующих значений . Алгоритм создания этой таблицы приведён в Приложении 2. Там же показано, как можно построить необходимый график на базе этой таблицы средствами Excel. В последнем случае построенный в Excel график можно распечатать на принтере и вклеить в отчёт (рис.1).
Рис.1. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенных средствами Excel.
Эти графики построены с использованием табл.4. Таблица 4 Значения подынтегральной и первообразной функций .
Табл.4.Исходные данные: , подынтегральная функция и первообразная функция .
А теперь тот же рисунок, но выполнений от руки на базе той же таблицы (рис.2). Рис.2. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенные вручную. Хорошо видно, что на обоих рисунках нулям подынтегральной функции в точности соответствуют точки экстремумов первообразной функции , т.е. имеет место наглядное подтверждение свойства . Естественно, что вы должны оформить любой из этих рисунков на ваш выбор. ПРОВЕРКА: = = = = ч.т.д. Ответ: =. +С.
6. = . Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим замену функции на функцию = = . Тогда искомый интеграл получит вид = = = . Поэтому в соответствии со свойством 4 с.5 («интеграл суммы функций» равен «сумме интегралов») с использованием табличного интеграла получаем = ─ + = ( + - ). После обратной подстановки получаем: = ( + ) + С. Кстати сказать, с аналогичным интегралом можно познакомиться в Примере 14. ПРОВЕРКА ( ( ─ + )+С) = + ( + ))= ( ─ + ─ ─ ─ + ─ )= (1─ ). Используя основное тригонометрическое тождество , переписываем полученное выражение: (1─3 +3 ). Дальнейшие преобразования в скобках дают конечный результат: , подтверждающий правильность решённого интеграла. Отве т: = ( + )+С.
7. = . Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами и , преобразуем подынтегральную функцию и получаем: = = = +С, где = , а = . Сначала с помощью формулы решаем первый интеграл = = , где 1 = = ; 2 = =(снова замена аргумента)= ; 3 = =(удвоение аргумента)= = + + ; 4 = = = =(уже знакомым приёмом = )= = . После обратной замены = . Возвращаемся к первому интегралу: = + + . Второй интеграл решаем с помощью аналогичной замены: = = = . = = . После обратной замены = . Собрав вместе результаты расчётов, получаем конечный результат: = +С.
Авторы приносят извинения, но в виду того, что проверочные преобразования данной задачи оказались чрезвычайно громоздкими, мы не приводим подробно проверку! Желающие могут попробовать сделать это самостоятельно. Ответ: = +С.
8. = . В этом интеграле подынтегральная функция (см. с. 16) последовательно преобразуется к форме, содержащей только степени функции и её дифференциал: . Воспользовавшись формулой = + и введя замену , получаем интеграл = . Этот интеграл легко решается: = +С= +С. После обратной подстановки получаем = +С.
|