Примеры решения задач. Задача 1. При какой длине волны импульс фотона будет равен импульсу молекулы водорода при комнатной температуре?

Задача 1. При какой длине волны импульс фотона будет равен импульсу молекулы водорода при комнатной температуре?

Дано: Р_ф=Р_Н2; t=27^oC; T=300K; m=0,002 кг/моль

Найти: l=?

Решение. Импульс фотона Р_ф= hn/c=h/l,

импульс молекулы водорода Р_H2 = m_H2 v_cp, где v_cp - средняя скорость теплового движения: v_cp= . Тогда = .

Т.к. m_H2=m/N_A, то . По условию Р_ф=Р _H2, т.е.

= h/l,

следовательно l= h _. Здесь N_A = 6,02.10²³ моль^-1 – число Авогадро; k=1,38.10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана.

l=6,63.10^-34 =1,04.10^-10м=0,104 нм.

Ответ: 0,104 нм.

Задача 2. «Красная граница» для цезия l_о=6,6.10^-7м. Найдите: а) работу выхода электронов из цезия; б) максимальную скорость и энергию электронов, вырываемых из цезия излучением с длиной волны l=220 нм.

Дано: l_о=6,6.10^-7м, l=220 нм=2,2.10^-7м, m_e=9,1.10^-31кг

Найти: А _вых=? v_max=? E_{к max}=?

Решение. “Красная граница” фотоэффекта определяет минимальную энергию фотона, вызывающего вырывание электронов из данного металла. Эта энергия должна быть не меньше работы выхода:

hn _min= h с/ l _о =А _вых, т.е. А _вых= h с/ l _о.

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия падающих фотонов идет на работу выхода электрона из металла и на сообщение ему кинетической энергии:

hn = А _вых+mu_max²/2= А _вых+Е_{к max}.

Т.к. n =с/ l, то hс/l = А _вых+Е_{к max} Þ Е_{к max}= hс/l - А _вых.

Е_{к max}= mu_max²/2 Þ u_max= .

А _вых=6,63.10^-34.3.10⁸/6,6.10^-7=3.10^-19(Дж)=1,88(эВ).

Е_{к max}=6,63.10^-34.3.10⁸/2,2.10^-7-3.10^-19=6.10^-19(Дж)=3,75(эВ).

u_max= = =1,15.10⁶(м/с).

Ответ: А _вых=1,88 эВ, Е_{к max}=3,75 эВ, u_max=1,15.10⁶ м/с.

Задача 3. Фотоэффект у некоторого металла начинается при частоте падающего света n _о=6.10¹⁴ 1/с. Определите частоту света, при которой освобождаемые им с поверхности данного металла электроны полностью задерживаются разностью потенциалов в 3 В. Найдите работу выхода для данного металла.

Дано: n_о=6.10¹⁴ 1/с, U_з=3 В.

Найти: n -? А_вых -?

Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

hn = А _вых+mu /2.

Здесь hn- энергия падающего фотона, А_вых - работа выхода электрона из данного металла, mu /2 -максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона.

1. Частота n_о соответствует “красной границе” фотоэффекта, т.е. определяет минимальную энергию фотона, вызывающего фотоэффект.

hn_о = А _вых.

А_вых=6,63.10^-34.6.10¹⁴=3,978.10^-19 (Дж)=2,48 (эВ).

2. Так как освобождаемые электроны задерживаются электрическим полем с разностью потенциалов U_з, то это означает, что работа поля равна кинетической энергии электрона: еU₃=mu_max² /2.

Тогда n =(А _вых+ еU₃)/ h.

n =(3,978.10^-19+1,6.10^-19.3)/ 6,63.10^-34=1,32.10¹⁵ (1/с).

Ответ: n =1,32.10¹⁵ 1/с, А_вых=2,48 эВ.

Задача 4.. Поверхность площадью 100 см² каждую минуту получает 63 Дж световой энергии. Найти световое давление в случаях, когда поверхность: а)полностью отражает все лучи; б)полностью поглощает все излучение.

Дано: S=100 см²=10^-2м²; W=63Дж; t=1мин=60с; а)R=1; б) R=0.

Найти: р₁=? р₂=?

Решение. Величина светового давления определяется соотношением: , где J - интенсивность света. J=W/(S.t).

а) р₁= 2W/(S t с); б) р₂= W/(S t с).

р₁=2.63/(10^-2.60 ^. 3^.10⁸)=7^.10^-7 (Па); р₂=р₁/2=3,5.10^-7(Па).

Ответ: р₁=7^.10^-7 Па; р₂= 3,5.10^-7Па.

Задача 5. Первоначальная длина волны падающего рентгеновского излучения l_о=0,003 нм, скорость электрона отдачи равна 0,6 с. Определите изменение длины волны и угол рассеяния фотона.

Дано: l_о=0,003 нм=3.10^-12м; v=0,6 c.

Dl=? j=?

Решение. Рассеяние рентгеновских лучей описывается уравнением

Dl =(h /m_oc) (1-cos j), (1)

где Dl=l-l_о, l-длина волны рассеянного излучения. Данное явление объясняется упругим соударением фотонов со свободными электронами вещества. При этом выполняются законы сохранения энергии и импульса. По закону сохранения энергии:

hn_o+m_oc²= hn+mc² (2),

где hn_o, hn - энергии падающего и рассеянного фотона, m_oc² - энергия покоящегося электрона, mc² - энергия электрона после соударения.

n_о=с/l_о, n=с/l; m=m_o/(1- v²/c²)^1/2.

Т.к. v=0,6 c, то m=m_o/(1- 0,36c²/c²)^1/2=1,25 m_o

hc/l_о +m_oc²= hc/l+mc² (3).

Отсюда найдем l - длину волны рассеянного излучения:

l=hcl_о/(hc-0,25m_oc²l_о) (4).

l=6,63^-34.3.10⁸.3.10-¹²/(6,63^-34.3.10⁸-0,25.9,1.10^-31.9.10¹⁶.3.10^-12)= =4,34.10^-12 (м).

Dl=l-l_о=4,34.10^-12-3.10^-12= 1,34.10^-12 (м).

Из соотношения (1): cos j=1-Dlm_oc/ h =1-Dl/L_к,

где L_к= h /(m_oc) -ком-птоновская длина волны.

cos j=1-1,34.10^-12/2,42.10^-12=1-0,5537=0,4463; j=68^о20’.

Ответ: j=68^о20’.